Eigenvalue and Eigenvector
Vector case
次にベクトルに関して考えてみよう．読者は行列の計算に関して多少知っていると仮定する．行列はベクトルに作用して新しいベクトルを生み出す．たとえば，回転したり，拡大縮小したりする．この時ベクトル x に行列 Aを作用させるなどと言う．たとえば行列 A は回転という作用だったりする，すると新しく b が出てくるというわけである．
A x = b
これだけ見ると，スカラと同じような形なのだが，Aは通常とても複雑で，何なのかわかりにくい．しかし，もし，
Ax'= λ x'
のようなスカラλ とx' があったらどうだろう? もしあったら，
複雑な A は実は一つのスカラ λ と同じことをすることがあるということがわかる．
実は私はこの文が Eigenvalue について全てを語っていると思っている．この一文を理解するためにこの blog を書いているようなものだ．どんな x に対しても，というのは無理だが，ある特定の x' に対してならλ があるという場合だ．
これはすごい．100x100の行列の性質の「一面」を，一つのスカラで示すことができるからだ．100x100の適当な行列があった時，それが何をするのかなんてのは普通はわからない．
ここで，A はベクトルに対して「何か」をする「操作」だった．(例えば拡大，縮小，回転など) そういう操作の正体がこの λ で示されることがある．こういうλ とそれに対するx'を，行列 A の正体，ではなく，固有の値と固有のベクトルということで，固有値(eingenvalue)，固有ベクトル(eigenvector)と言う．
なんで固有値(eigenvalue)とか固有ベクトル(eigenvector)というのを考えるのかわかっただろうか．行列 A そのものをそのまま理解することは難しいので，その一面で特にわかりやすものを取り出して行列 A を探ろうというのが，固有値を使う解析なのである．
ところで，一つの nxn の行列 A (n>1) に対して普通，固有値は一個ではない．一個で全部示すことができるならばいいんだが，世の中そんなに甘くはない．普通は複数あることに注意すること．だから行列の「一面」という言葉を使ったのだ．