『数学では
「１＝0.99999･･･」
である。
つまり、小数点以下に９が無限に続く数字である“0.99999･･･”は“１”に 等しい。
このように考えられる理由を説明しなさい。』
「その前に、“実数”ってわかる？」
佳澄は首を傾け、
「そういえばわかんないかも･･･。」
申し訳なさそうに頭を掻いた。
「実数ってのはね、“有理数”と“無理数”から成り立ってるんだ。」
「有理数は分数で表せれる数字で、逆に無理数は分数では表すことが出来ない数字のことですよね。」
「その通り。もうちょっと詳しく言うと、有理数は、分子が整数、分母が自然数の分数で表される数だ。無理数は√２＝1.41421･･･のように無限に続いてしまったり、数が循環してしまう数のことを言う。0.99999･･･も無理数だね。」
佳澄は「へぇ」と言って頷いた。
「有理数と無理数については、ドイツの数学者・デデキントによって理論付けられた。彼はこの２つの数字は“ぴっちり詰まっている”状態だと言った。これは『デデキントの切断』という考えで証明される。数直線を考えてみて、そこに有理数をぴっちり並べるんだ。でもよく見るとまだまだ隙間だらけで、そこに無理数が詰まっている･･･イメージとしてはそんな感じなんだ。」
「･･･。」
話が難しくなりすぎたようだ。
佳澄はポカンとしている。
「さあ、話を実数に戻そうか。そんな実数にはこんな性質がある。」
そう言って僕は佳澄のルーズリーフにこんな数式を書いた。
『a＜bであれば、a＜c＜bという実数cが存在する。
ただし、c＝(a＋b)/2 である。』
「“実数の連続性”と言うんだ。さぁここでだ、一旦『１＝0.99999･･･』ではなく『１＜0.99999･･･』と仮定して考えてみよう。」
「あ、これで『a＜b』の形になるんだ！」
「そういうことだ。a＝0.99999･･･、b=１とする。すると、実数の連続性によって『c＝(a＋b)/2』を満たすc
が存在しなければならないことになるよね。だけど、実際はどうだろう？計算してみようか？」
佳澄は計算を始めた。
a＋b＝１.99999･･･
だからぁ
(a＋b)/2＝0.99999･･･
「あ、あれぇ？0.99999･･･になっちゃったよ。」
「そう、これじゃあ『a＝c』になっちゃう。a＜c＜bと矛盾しちゃうよね。」
「じゃあ、『１＜0.99999･･･』は間違ってたってこと？」
「この仮定のせいで矛盾が起こった。そして実数の性質を崩してしまったんだ。」
「そっかぁ。だから『１＝0.99999･･･』ってしてもいいよ、ってこと？」
「2つの実数の間に他に実数が現れないってことがわかったからね。」
「ふ～ん･･･。なんか、ちょっとだけ納得。」
そう言って佳澄は苦笑いした。
「そりゃぁね、デデキントの切断なんて大学に入ってから習うことだから･･･わからなくて当然だよ。実はね、僕も中学生の頃に君と同じ事を考えてたんだ、『１＝0.99999･･･』っていいのかな？ってね。この疑問が、僕を大学で数学を勉強させているんだ。」
「えぇ？そうなんだぁ。じゃあ、わたしも大学で数学勉強するのかな？」
「かもね。それにしてもこれはいい問題じゃないかな。僕が思うにね･･･」
『１＝0.99999･･･』は実数の世界の秩序を守るための一つの“約束”なんじゃないかな。