球面反射鏡のボケ具合

天体望遠鏡の反射鏡として放物面鏡と球面鏡を使ったときの違いについてちょっと考えてみました。

もちろん惑さんの記事
　　「球面鏡と放物面鏡の違い」
がきっかけです。

反射鏡の光軸上にある無限遠の点から来る光を考えます。つまり恒星を視野の中心において見る場合に相当します。

放物面鏡であれば反射鏡の焦点距離や口径とは無関係に一点に収束します。というかそれが放物面（放物線）の定義です。

じゃあ球面鏡の場合は？

以下幾何光学的な計算です。回折の影響を示すためエアリーディスクの半径を表に追加しました。

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まず計算方法は以下のとおりです。


赤い円弧が球面を表しておりMが球面鏡の中心、Cが外縁とします。

球面の中心はOでありFが焦点です。

焦点距離は曲率半径の半分でMF=OFの関係があります。

HFを結ぶ線上にセンサーがあるとします。

Aから入射した光はセンサー上のFの位置に届きます。
（斜鏡は半透明とでも考えてください）

一方球面の外縁Cに入射した光はIに届きます。
つまり平行光線でほんとうは点像になるはずの光が大きさを持った像になります。

ここでFとIの距離を調べます。

GOが球面の口径の半分、COは曲率半径ですので

　GCOの角度 = asin( GO / CO )

です。

このことから

　　GC = CO * cos( GCO )
　　HC = GC - GH

となります。

COは球面に対する法線になるのでGCOとICOの角度は同じです。

したがって

　　HI = CH * tan( GCO * 2 )
　　IF = HI - HF

となります。

ところでこれはセンサーを焦点においていますが少し反射鏡の中心Mにセンサーを近づければ星像の大きさは小さくなるように思えます。
ただ実際に計算してみると星像の半径は2/3くらいにしかならずこれによって画期的な効果は期待できないようです。

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計算結果を示します。さきほど途中の計算が間違っていることに気づき青くなったのですが、結果はあまり変わりませんでした (^^;;

焦点距離1,000mm（曲率半径2,000mmm）の球面鏡の焦点位置に乾板（センサー）置くと仮定しF値が異なる場合の恒星像の半径を計算してみました。

F値	口径[mm]	視野中心の恒星像の 半径[mm] （球面鏡に起因するボケ）	エアリーディスクの 半径 （回折に起因するボケ）
4	250	0.2463	0.0029
6	167	0.0726	0.0043
8	125	0.0306	0.0057
10	100	0.0156	0.0072
12	83	0.0091	0.0086
14	71	0.0057	0.0100
16	63	0.0038	0.0115
放物面鏡		0.0000	F値による

球面鏡であることによるボケは球面のF値と焦点距離に依存し、回折に起因するボケはF値にのみ依存します。上の表はf=1,000mmの場合です。

ところで例えばPENTAX K-rの場合センサーの画素のサイズは0.0055mmくらいのようです。
実用的にはF8くらいなら問題ないのではという気もしますがF8だと画像の使い方によってはちょっと厳しいのかもしれません。

またF値が2桁になると回折の影響が強くなり放物面鏡と球面鏡の違いはどうでもいいのではとも思えます。

いちおう念のために書いておきますが反射鏡が球面鏡であることが原因で発生するボケと回折によるボケは原理的に違うものなので上の表の数値が同じだからと言って同じボケ具合になるわけではありません。

（2013-03-28 13:46:38）
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