今回は、最初に書いたわり算のもう一つの意味、
２）２４個のリンゴを６個ずつでわけると、何人分になるか
という面から、どうしてこれもひっくり返してかければいいのかを考えてみます。
正確には、「かければいいのか」ではなく、「かければいいことになるのか」ですが。
こちらの方は前回と違って、説明は非常にシンプルです。
というか、イメージ的にわかることをめざしているので、シンプルな説明でそれが可能と考えたから。
だから、算数的に厳密な証明、というわけではないかも。
２４個のリンゴを６個ずつでわけるとはどういうことかというと、
「６個ずつひとかたまりをつくる」ということで、
「そのひとかたまりがいくつあるか数える」ということです。
２４÷６＝４
なら、「６つのかたまりが４つある」ということになります。
そしてそれを全部あわせると、当然２４になります。
だから、
６×４＝２４
です。
ピンとこない方のために、りんごではなく、クラスの班に置き換えて同じ質問をしましょう。
「３０人のクラスで、6人で１つの班を作ると何班できますか？」
これは、
３０÷６＝５
で班は５つになります。これを逆に考えれば、
６人で5班というのは、もともとは全部で３０人なので、
6×５＝３０
になります。
あたりまえですか？ ですよね？
それでは、分数のわり算にうつります。
２４÷（２/３）
を考えます。
これは、「２４を、３分の２ずつでわけるといくつあるか」ということです。
いいかたを変えると、「 ２４のなかに3分の２はいくつあるか 」 ということです。
その答えを「❓」で表しますと、
２４÷（2/３）＝❓
になります。
ここで、先ほどの２４÷６と同じ考え方をしてやると、
3分の２を「❓」つ集めると、もともとは２４なので、
（２/３）×❓＝２４
と表すことができます。
これを、あとあと都合の良いように、以下のようにします。
❓×（２/３）＝２４
になります。
ここで、本来求めたいのは「❓」ですから、
両辺に2分の３をかけてやります。
すると、
❓×（２/３）×（３/２）＝２４×（３/２）
（２/３）×（３/２）は１ですので
❓×１＝２４×（３/２）
１を省略して、
❓＝２４×（３/２）
以上、終了となります。
いうまでもなく、この考え方は一次方程式を解いたものです。
また、「ひっくり返してかける」について、根本的に理屈で説明をしたものではありません。
あくまで数式をつくってそれをいじくったら「要はひっくり返してかければいい」という結論になることを示したに過ぎません。
その意味では、期待外れかもしれませんが、
私自身は、わけもわからずひっくり返してかけるよりは、途中経過がわかっただけでもすっきりするのかも、と思っています。
「ひっくり返してかける」ことそのものに意味はないと考えてもいいと思います。
たまたま「ひっくり返してかける」というシンプルな形なので、なにか意味があるんじゃないか、と思ってしまうのではないでしょうか。
あるのかもしれませんが、今回やってみて、たまたま形上シンプルになっただけ、という感じがしました。
たとえばこれが、ご存じのような二次方程式の解の公式だったらどうでしょうか？
ああいう変な形になることに、意味は感じません。
計算したら、ああいう形になっただけです。
分数のわり算も、同じです。
もし分数のわり算のときかたが、
「ひっくり返して１をたして２．３をかけてそれを１０で割る」
という公式だったら、
「どうしてそういう形になるんだ？」
というのは、そのときかたの経過だけに興味をもつはずで、意味までは考えないと思います。
ただ、算数（数学）の場合、時として、偶然なのかなんなのか、得られた公式が「美しい」と思えるまでにシンプル、ということがおきますね。
そういうとき、つい「意味」を考えたくなるのかもしれません。