今日は食塩水の問題を見ていきましょう。
例題）
容器Aにはx%の食塩水が６００ｇ、容器Ｂにはｙ％の食塩水が３００ｇ入っています。容器Aから３００ｇを容器Ｂに入れ、容器Ｂをかき混ぜた後、容器Ｂから容器Ａへ３００ｇ入れました。すると、容器Ａは１２％、容器Ｂは１０％になりました。ｘ、ｙはいくつですか。
解答）
ｘ＝１４
ｙ＝６
解き方①）
この問題を解くには、操作１（容器Ａから容器Ｂへ）からではなく、操作２（容器Ｂから容器Ａへ）の方から考えていけば解きやすくなります。下の図を見てください。
操作１で、容器Ａから３００ｇを容器Ｂに入れた食塩水をＢ’とします。Ｂ’は６００ｇになっています。その６００ｇのうち、３００ｇを容器Ａに入れています。そのあとＢ’は３００ｇになっています。その３００ｇになったＢ’が問題に書かれている１０％の容器Ｂの食塩水になります。つまり、操作２では、１０％の食塩水３００ｇとｘ％の３００ｇを混ぜると１２％の食塩水が６００ｇできることになります。ここで、面積図かてんびん図を使ってｘを求めることにします。
１０％とｘ％を３００ｇずつ混ぜて１２％になることから、ｘ％は１２％よりも大きいということがわかります。３００ｇずつなので、等しい面積の縦の長さは等しくなります。てんびん図の場合は、支点からの距離は等しくなります。よって、ｘ＝１２＋２＝１４になります。
次に、操作１からｙを求めます。
操作１ではｘ％（１４％）の食塩水３００ｇとｙ％の食塩水３００ｇを混ぜて１０％の食塩水が６００ｇできます（Ｂ’）。これから、面積図かてんびん図でｙを求めます。
上の面積図とてんびん図からわかるように、ｙ＝６となります。
解き方②（数学）)
数学で解く場合は、操作１の方から、ｘ、ｙ、で立式して解くように誘導されます。ここでも連立方程式で立式して解いていきます。
容器Ａから３００ｇ取り出し、容器Ｂに入れるとき、その中に入っている食塩の量は、３００×（ｘ/100）＝３ｘ。
容器Ｂに入っている食塩の量は、３００×（ｙ/100）＝３ｙ。
操作１で、容器Ｂの中の食塩の量は、３ｘ＋３ｙになります。
その容器Ｂから６００ｇの半分の３００ｇを容器Ａに入れます。容器Ａに入る食塩の量は、３ｘ/２＋３ｙ/2 になります。
容器Ａには残り３００ｇの中に３ｘの食塩が入っています。
容器Ａは結局１２％６００ｇの食塩水になったので、食塩の量で等式を作ると、
３ｘ/2＋３ｙ/２＋３ｘ＝６００×（12/100）＝７２━━━━━━━━①
また、容器Ｂには３ｘ/2+３ｙ/2の食塩の量が残っています。
容器Ｂは３００ｇ１０％の食塩水だから、食塩の量で等式を作ると、
３ｘ/2+３ｙ/2＝３００×（10/100）＝３０━━━━━━━━②
①、②を連立させて、ｘ、ｙを求めます。
①式を分母を払ったり、両辺を同じ数で割って、できるだけ係数を小さな整数になるように整理すると、
３ｘ+ｙ＝４８━━━━━━━━③
②式もできるだけ簡単な整数の係数になるように整理すると、
ｘ+ｙ＝２０━━━━━━━━④
③、④から、ｘ＝１４，ｙ＝６ が得られます。
問題）
食塩５ｇと水２００ｇがあります。この一部を使って、ビーカーＡに３％の食塩水を作ります。残りをビーカーＢに入れてもう一つの食塩水を作りました。ビーカーＢの食塩水は２％になりました。ビーカーＡに入れた食塩は何ｇですか。
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