今回は２００７年のJMOの予選第７問を取り上げます。
非負整数というのは、０以上の整数ということで、３の非負整数乗というのは、３の○（○は０以上の整数）乗（３を○個以上かけあわせた数）のことです。
問題文の表現が分かりにくいですが、中学入試にも算数オリンピックのキッズBEEにも同種の問題が出されているので、小学生でも解ける問題です。
３の５乗＝３×３×３×３×３＞１００、３の４乗＝３×３×３×３だから、３を５個以上かけあわせた数を使うことはできませんね（上限チェック！）。
３の４乗＝８１
３の３乗＝３×３×３＝２７
３の２乗＝３×３＝９
３の１乗＝３
３の０乗＝１（小学生にとっては、これが若干わかりにくいかもしれませんが、３の１乗から４乗について考えたとき、３をかける個数が１増えると３倍になり、逆に１減ると１/３倍になっているのだから、３の０乗は３の１乗（＝３）の１/３倍の１でないといけないことがすぐにわかるでしょう。マイナスの数を知っていれば、３の（－１）乗は、３の０乗（＝１）の１/３倍の１/３でないといけないこともすぐにわかりますね。）
表記を簡略化するため、３の４乗、３乗、２乗、１乗、０乗をそれぞれＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅとします。
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅを組み合わせ（それぞれ複数個使用することができ、使用しないものがあってもよい）て１００を作るだけの話ですね。
「１円玉」、「３円玉」、「９円玉」、「２７円玉」、「８１円玉」で１００円を作ることをイメージすれば、上で紹介した中学入試で出されるタイプの問題であることがすぐにわかるはずです。
１００未満の数の場合、Ｅで残りを作ることができるので、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄで１００以下の数を作ることを考えればいいですね。
その際、両替をイメージするとよいでしょう（例えば、Ｂを１個減らすとＣが３個増えるという感じです）。
Ａ １ ０
Ｂ ０ ３ ２ １ ０
Ｃ ２～０ ２～０ ５～０ ８～０ １１～０
Ｄ ０ ０ ０ ０ ０
３～０ ３～０ ３～０ ・ ３～０
６～０ ６～０ ６～０ ・ ・
９～０ ・ ・
１２～０ ・ ・
１５～０ ・ ・
２４～０ ・
３３～０
上記の表のようなものにおいて、Ａ＝１、Ｂ＝０のとき、Ｃ＝２なら、Ｄ＝０、Ｃ＝１なら、Ｄ＝３（０＋３）～０、Ｃ＝０なら、Ｄ＝６（３＋３）～０があるということです。
求める場合は、全部で
（１＋４＋７）＋（１＋４＋７）＋（１＋４＋７＋１０＋１３＋１６）＋（１＋４＋７＋・・・＋２５）＋（１＋４＋７＋・・・＋３４）
＝１２＋１２＋５１＋１１７＋２１０（等差数列の和の公式を利用しただけです。）
＝４０２通り
あります。
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