今回は２０２６年の日本数学オリンピック（JMO）の予選第６問を取り上げます。
中点というのは、真ん中の点のことです。
答えにルートが絡んでしまうので、ＭＢ＝１６/３として考えます。
このように数値変更しても本質は何も変わりません。
灘中受験生や算数オリンピック・ジュニア算数オリンピックにチャレンジする子ならさっと解けるレベルの問題です。
図形の内部に補助線を引くことができなくても、図形の外部に補助線（延長する補助線）を引くことができる子が多いですが、その補助線で簡単に解けますからね。
ＢＦとＣＤをそれぞれ延長し、交わった点をＧとします。
三角形ＭＡＢと三角形ＭＥＧは合同（ちょうちょ相似で、ＭＡ＝ＭＥ）だから、ＡＢ＝ＥＧとなります。
また、平行四辺形の対辺は等しい（ＡＢ＝ＣＤ）から、ＣＤ＝ＥＧとなり、共通部分ＥＤを取り除くと、ＣＥ＝ＤＧとなります。
ＣＥ＝３だから、ＤＧ＝３となり、三角形ＤＧＦは二等辺三角形となり、三角形ＤＧＦと相似（ピラミッド相似）な三角形ＣＧＢも二等辺三角形となります。
ＭはＢＧの中点だから、ＣＭは二等辺三角形ＣＧＢの線対称の軸となり、角ＣＭＢは直角となります。
ＣＭ：ＭＢ＝４：１６/３＝３：４だから、ＢＣ＝４×５/３＝２０/３となります（辺の比が３：４：５の有名直角三角形を利用）。
ＣＧ＝２０/３となるから、ＡＢ（＝ＣＤ）は２０/３－３＝１１/３となります。
なお、辺の比が３：４：５の有名直角三角形を利用せずにＢＣの長さを求めることもできます（下のページにある各問題の解説を参照）。
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