日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２０１４年予選の問題
今回は、日本ジュニア数学オリンピック２０１４年予選第６問を取り上げ、解説します。
１６ｎというのは、１６×ｎのことです。
１と１６の数字を入れ替えた設定（ｎ×１＋１６とｎ×１６＋１）になっているのがおしゃれですね。
今回取り上げる問題ですが、中学入試でも昔からよく利用される「和と差の積＝２乗の差」（関西学院中学部１９９６年算数２日目第１問（４）、南山中学校女子部２０２４年算数第１問（４）などの解答・解説を参照）を利用すれば簡単に解けます。
ｎ＋１６＝〇×〇、１６ｎ＋１＝□×□（〇は４より大きい整数（５以上の整数）、□は１より大きい整数（２以上の整数））とおくことができます。
１つ目の式の１６倍と２つ目の式の差を考えると、（４×〇）×（４×〇）－□×□＝２５５となります。
「和と差の積＝２乗の差」を用いると、（４×〇＋□）（４×〇－□）＝２５５
（４×〇＋□）と（４×〇－□）は２５５の約数のペアで、（４×〇＋□）は、（４×〇－□）より大きく、４×５＋２＝２２以上となります。
（４×〇＋□）（４×〇－□）＝２５５
２５５ １・・・①
８５ ３・・・②
５１ ５・・・③
あとは、和差算を解くだけです。
①のとき、〇＝（２５５＋１）/８＝３２、□＝３２×４－１＝１２７、ｎ＝３２×３２－１６＝１００８
②のとき、〇＝（８５＋３）/８＝１１、□＝１１×４－３＝４１、ｎ＝１１×１１－１６＝１０５
③のとき、〇＝（５１＋５）/８＝７、□＝７×４－５＝２３、ｎ＝７×７－１６＝３３
一応、□も求めていますが、〇を求めた後すぐにｎを求めてもよいでしょう。
下の問題もぜひ解いてみましょう。
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