今回は、日本ジュニア数学オリンピック(JJMO)２０２６年予選第６問を取り上げます。
平行線を利用してピラミッド相似を作り出せば簡単に解ける問題です。
頂点Ａを通り、ＰＤ（ＱＥ）に平行な補助線を引き、辺ＢＣと交わった点をＦとします。
与えられた角度の条件と平行線の同位角が等しいことから、図の〇をつけた角度は等しくなります。
三角形ＡＢＦと三角形ＰＢＤのピラミッド相似に着目します。
ＢＤ（＝ＤＥ＝ＥＣ）の長さを⑭とすると、ＤＦの長さは⑤となり、ＥＦの長さは⑭－⑤＝⑨となります。
角の二等分線定理（最難関中学校の受験生なら知っているでしょう）より、ＡＢ：ＡＣ＝ＢＦ：ＦＣ＝（⑭＋⑤）：（⑨＋⑭）＝１９：２３で、ＡＢの長さが５＋１４＝１９だから、ＡＣの長さは２３となります。
なお、角の二等分線定理を知らなければ、角の二等分線定理を使ったところを次のようにすればよいでしょう（いわゆる等高図形の面積比の利用）。
点Ｆから辺ＡＢ、ＡＣにそれぞれ垂線ＦＧ、ＦＨを引きます。
三角形ＡＦＧと三角形ＡＦＨは合同となるから、ＦＧ＝ＦＨとなります。
ＡＢ：ＡＣ
＝三角形ＡＢＦの面積：三角形ＡＣＦの面積（高さが等しい（ＦＧ＝ＦＨ）から）
＝ＢＦ：ＦＣ （高さが等しい（Ａから辺ＢＣに引いた垂線）から）
先日取り上げたJJMOの問題同様、底辺を様々な方向で考えてこのように処理しています。
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