開成高等学校２０２５年数学第２問
下の図で、四角形ＯＮＡＫ、四角形ＯＫＢＬ、四角形ＯＬＣＭ、四角形ＯＭＤＮは合同な正方形である。また、△ＯＮＰ、△ＯＫＱ、△ＯＬＲ、△ＯＭＳは合同な正三角形である。
このとき、以下の問いに答えよ。
（１）（ⅰ）省略（ⅱ）省略
（２）正方形ＡＢＣＤの面積は、正方形ＰＱＲＳの面積の何倍か。
（３）省略
（１）は（２）を解くための誘導で、小学生でも解ける問題でしたが、この誘導に従うと却って面倒なことになるのでカットしています（仮に、出題者の誘導に乗ると、いわゆる３０度問題の処理をすることになります（大阪女学院中学校２００９年後期算数第２問の図の上の部分をカットした図形になります。解説のページの６cmを〇cmなどとすれば、同様にして答えが求められます））。
（３）はルートが絡むので省略しています。
正方形ＰＱＲＳの面積は直角二等辺三角形ＯＳＰの面積の４倍ですね（三角形ＯＳＰが直角二等辺三角形であることは、対称性により明らかでしょう）。
ところで、直角二等辺三角形ＯＳＰは直角二等辺三角形ＯＭＮを、点Ｏを中心に反時計回りに６０度回転したもので合同（２辺とその間の角がそれぞれ等しいから合同としてもよいでしょう）だから、面積が等しくなります。
結局、正方形ＰＱＲＳの面積は、直角二等辺三角形ＯＭＮ４個分の面積、つまり、正方形ＫＬＭＮの面積と等しくなるから、正方形ＡＢＣＤの面積は、正方形ＰＱＲＳの面積の２倍となります。
回転＋拡大・縮小が合同を生み出すことは常に意識しておくべきでしょうね。
”平面図形（回転＋拡大・縮小）の問題（灘中学校２０２４年算数１日目第１０問）”の類題 | 中学受験算数プロ家庭教師
