日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２０１２年予選の問題
今回は、日本ジュニア数学オリンピック２０１２年予選第１０問を取り上げ、解説します。
JJMOの予選の最後から３番目の問題は、小学生が解けない問題が多いですが、この問題は小学生でも解ける問題です。
最難関中学校の入試で出されても何の不思議もない問題です。
さて、JJMOの問題を解いてみましょう。
「正の」というのは、０より大きいということです。
約束記号の問題なので、記号の意味をしっかり把握する必要がありますが、S（ｋ）の意味については問題なく把握できるでしょう（もし把握できなければ、ｋ＝１、２、３、・・・、９、１０、・・・と具体例を考えていけばよいでしょう）。
Ｓ（ｎ）/Ｓ（ｎ＋１）が整数となるというのは、要するに、ｎに１を足した整数の各位の和が整数ｎの各位の和を割り切りますよということです。
ｎの各位の和より（ｎ＋１）の各位の和のほうが大きい場合は論外だから、ｎ＋１を計算したとき繰上りが生じることになります（９＋１＝１０となり、各位の和が減りますね）。
ｎは１以上９９９以下の整数だから、繰上りの回数は最大でも３回ですね。
（あ）繰上りがちょうど３回生じるとき
これは９９９だけですね（９９９＋１＝１０００）。
（９＋９＋９）/（１＋０＋０＋０）＝２７だから、条件を満たします。
（い）繰上りがちょうど２回生じるとき
１を足すだけなので、一の位で繰り上がり、さらに十の位で繰り上がるときだけですね。
これは□９９（□＝０、１、２、３、・・・、８）と表される数だけです（□＝９のときは、（あ）の場合となってしまうことに気を付けましょう）。
（□＋９＋９）/（（□＋１）＋０＋０）＝（□＋１８）/（□＋１）＝１＋１７/（□＋１）が整数となるのは、（□＋１）が１７の約数（１か１７）となるとき（既約分数の難問？（早稲田中学校、慶應義塾高校、横浜市立大学の入試問題）の記事で利用した手法と同様ですね）だから、□＝０のときだけですね。
（う）繰上りがちょうど１回生じるとき
１を足すだけなので、一の位で繰り上がるときだけですね。
これは△〇９（△＝０、１、２、３、・・・、９，〇＝０、１、２、３、・・・、８）と表される数だけです（〇＝９のときは、（い）の場合（特に、〇＝９、△＝９の場合は（あ））となってしまうことに気を付けましょう）。
（△＋〇＋９）/（△＋（〇＋１）＋０）＝（△＋〇＋９）/（△＋〇＋１）＝１＋８/（△＋〇＋１）が整数となるのは、（△＋〇＋１）が８の約数（１か２か４か８）となるときだけですね。
（△＋〇＋１）＝１のとき、△＝〇＝０のときだけですね。
（△＋〇＋１）＝２のとき、（△,〇）＝（１，０）、（０，１）の２通りだけですね（中学入試にもよく出される和一定の書き出しをするだけです（以下同じ））。
（△＋〇＋１）＝４のとき、（△,〇）＝（３，０）、（２，１）、（１，２）、（０，３）の４通りだけですね。
（△＋〇＋１）＝８のとき、（△,〇）＝（７，０）、（６，１）、（５，２）、・・・、（０，７）の８通りだけですね。
したがって、条件を満たすｎは全部で１＋１＋１＋２＋４＋８＝１７個となります。
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