今回は、日本数学オリンピック２０１２年予選第１問を取り上げ、解説します。
一般に、直角三角形の斜辺（直角の向かいの辺）の長さと残り２辺の長さの和か差が与えられると、直角三角形の面積を求めることができます。
その際の手法を用います。
このタイプの問題は中学入試でも出されています（先日取り上げた南山中学校女子部２０２４年算数第１４問を参照）。
さて、JMOの問題を解いてみましょう。
ＤＲの長さ（＝ＡＰの長さ）とＺＲの長さ（＝ＱＣの長さ）の差は、ＢＰとＢＱの長さの差（７－６＝１）と等しくなります。
これで、上で述べた直角三角形の問題になりましたね。
直角を挟む２辺の長さの差が１で斜辺の長さが５という時点で、３：４：５の直角三角形をイメージし、すぐに３＋７＝１０と答えを求められる小学生も結構いるでしょうね。
ここでは、きっちり解いてみます。
長方形ＳＺＲＤと合同な長方形を４個並べて大きな正方形を作り出します。大きな正方形の一辺の長さは、ＤＲとＺＲの長さの和となります。
また、次に大きな斜めの正方形（黄色の部分と水色の部分を合わせた図形）の一辺の長さは５となり、中心部分にできる小さな正方形（水色の部分）の一辺の長さは、ＤＲとＺＲの長さの差（１）となります。
大きな正方形の面積は５×５＋（５×５－１×１）＝４９＝７×７となるから、ＤＲとＺＲの長さの和は７となります。
和差算により、ＤＲの長さは（７－１）/２＝３（ＺＲの長さは（７＋１）/２＝４）となり、正方形ＡＢＣＤの一辺の長さは７＋３＝１０となります。
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