下の図は、２０２１年度都立西高校数学の作図問題です。
例によって問題文にマーキングを入れています。
この問題を見た瞬間に、角の二等分線と直角の三等分線の融合問題とわかればほぼ１分で作図可能です。
逆に言えば、「角を等分する作図」では①角の二等分線と②直角の三等分線しか知らないのでそれ以外にない、つまりこれが使える問題だろうと予想がつくことになります。
ある意味、作図に対する自信とも言えますが。自信を持つことは数学の解法では案外有効な場合があります。
もっとも直角の三等分を知らないとほぼ致命的ですが。
簡単な計算をやってみると下の図のようになります。
できれば最初のプランニングでこれをやるとより確実＋時間短縮につながります。
では実際に作図をしてみます。
下の模範解答とは若干違うように見えるかもしれませんが、手順は同じです。
模範解答では30°の二等分線のところで小弧を描いていますが、上の解答例ではその代用として元の円周を利用し、ひと手間省いています。
以上、角の二等分線と直角の三等分線を利用して解く入試問題の例を紹介しました。
(完)
前回「角の二等分線」の作図について解説しました。
今回は、ことのついでに「角の三等分線」、正確には「直角の三等分線」を取り上げます。
「直角の三等分線」といっても特に目新しいものではなく、小学生でも知っている知識を使います。
先ずは、水平の直線に垂直な直線を立てて直角（∠R）を作ります。直角の作り方はいくつかありますが、ここでは下の方法でやってみます。
（豆知識）
直角（90°）は英語で「Right angle」といい、頭文字Rをとって∠Rという記号を用いる。
（直角を作る）
１．水平の直線上に２点Ｐ、Ｑをとって、それぞれＰ、Ｑを中心とする同じ半径の半円をかく。
※このとき、半円の半径の大きさは２点間の距離の1/2より長くする。
※半円の代わりにやや短かめの弧でも可。
２．これらの２つの半円の交点Ａ、Ｂを直線で結ぶ。
３．これで直角の出来上がり。
（直角の三等分線）
次に直角を三等分。すなわち90°を30°ずつに三等分します。
簡単なので下の図の手順をみれば角の二等分線のときと似ているのでおおよその検討がつくと思われます。
また、より分かるように手順１～５の解説をつけておきました。
ところで直角の三等分線は小学校でコンパス・定規を使って正三角形をかいたことのある人なら基本原理を知っているでしょう。
三角形と言えば上の図で気づいた人もいるかもしれません。
この図では特殊な三角形があります。
例えば
△AOP、△POQ、△QOB・・・頂角30°底角75°の二等辺三角形
△AOB・・・直角二等辺三角形。底角45°
△AOQ、△POB・・・正三角形。頂角60°
などなど。
ここでは、コンパスと定規で、90°はもちろんのこと、30°、45°、60°の角を作れることが分かりました。
さらに角の二等分線も引けるので30°の1/2の15°、さらにその1/2の7.5°も作れることになります。
ところで直角の三等分ができたからと言ってなんの役立つのかと言えば、2021年都立西高の作図問題でこれを利用する問題が出ました。 → 次回取り上げる予定
この問題は、直角の三等分線を知っている受験生なら１分で作図が完成できた（分殺問題）のではないかと思われます。
※ちなみに、数学の作図問題は、コンパスと定規を使って遊び感覚でいろいろお絵描きしているうちに自然に身につくものです。
作図の定型パターンは数えるほどしかないで、勉強の合間やヒマな時間にお絵描きの感覚でかいてみることがお勧め。
前に「角の二等分線の作図」で３つの弧を描くときに、原則として３つとも同じ半径でよいという話をしました。
多くの教科書では、この原則、例外を区別することなく、第1の弧を描いたのち、第２、第３の弧は半径を変えるように記述してあるようです。
これは指導要領に沿ったものかもしれませんが、受検問題を解く勉強としては実践的ではなくナンセンスと言えます。
少なくとも入試の過去問ではこの原則でほとんど解決できると思われます。
ということで以下、原則と例外に触れておきます。
下の図を参考に。
原則は、第１～第３の３つの弧の半径は同じ。
例外は、角度180°のときだけ、第１の弧の半径より第２第３の弧を大きくとる。
ただ、めったに出題されないと予想されますが、二等分する角度が180°に近い角度では第２第３の２つの弧の交点がとりにくいため、そのときは３つの弧の半径の大きさを大きくするとよいでしょう。
適宜調整です。
※劣角、平角、優角と聞きなれない言葉出てきますが、それぞれのイメージが分かればOKです。
以上、角の二等分線の作図の原則、例外をとりあげました。
普段の勉強では何度か描いてなれておくのが得点するコツです。
※このページで分からない点があれば質問を受付けます。
前回、都立高校入試数学編「角の二等分線」についての基礎知識をとりあげました。
今回は、前回の基礎知識をつかって実際に2021年度数学の作図問題を実践してみます。
前回同様、基礎知識の確認をします。
問題文には、直線が３本指定され、３本の直線が交わった図があります。
この問題のキーワード「直線」「等しい距離」を見た瞬間に「角の二等分線」が頭に浮かべば、この問題は瞬殺問題となります。
具体的には、左の角の二等分線と右の角の二等分線を引き、二本の二等分線の交点が、3本の直線から等しい距離にある点Ｐということになります。
これらのことから、普段の勉強も「キーワード」と「図」が瞬時に思い出せるように紙と鉛筆を使って反復練習しておくことが第一です。
作図だけでなく数学問題の練習量は好き嫌いや単元によって人それぞれですが、一般に、連続３回以上がお勧め。
特に苦手な単元を習得するには、同じ問題なら「スラスラ解ける」まで繰り返し練習するのが一番。
では実際に角の二等分を描いてみます。
前に、試験開始と同時にプランニングタイムでマーキングを奨励しましたが、今回も下の画像では問題文の「キーワード」を〇で囲んでマーキングするところから始めています。
青色文字は左の角の二等分線を引く手順について、緑色文字は右の角の二等分線を引く手順です。
前回も書きましたが、６個の弧の半径はどれも同じで大丈夫。
半径同じで×になったという話は聞いたことがないので。
半径を変えて描く手間を省略した分だけ、時間短縮ができます。「時は金なり」
ただし点Ｐの文字も忘れずに。
丁寧に書いても１分もあれば十分でしょう。
消しゴムはできるだけ使わずに済むように丁寧に。これも時間短縮のコツ。
以上が「角の二等分線」の性質と作図方法です。
ことのついでに角の等分線についての作図を追加しておきます。
「角の三等分線」の作図も知っておくべきなので次回に取り上げます。
（注意）
前回まで問題文「文字Ｐも書け」にマーキングを省略していますが、今回追加しておきます。
本来、作図問題では求める点Ｐを書き入れるのは作図問題のお約束ですが、念のためマーキングしておくのがお勧めです。
（つづく）
前回までは試験場で都立高校入試数学編の得点を確実にする方法をかきました。
今回は、作図が苦手な受験生向けに作図で点を取るためのコツを過去問を例に解説しました。
何らかのヒントになれば。
下の例は2021年度都立高校入試の作図問題です。
まずは、過去問を見て普段からどんな準備(勉強)をすればよいかについて書くことにします。
上の図では、問題文から図形の基礎知識「角の二等分線」の性質と作図を使うことが推測されます。
角の二等分線の性質と描き方は、教科書にも参考書にも出ているのでそちらを参考に。
ただし、３つの弧の半径は原則、同じでかまいません。
最初の弧と残り二つの弧の半径を変えるような例外的な問題は公立入試にはほぼ出ないでしょう。
文章をそのまま読んで覚える方法もありますが、紙と鉛筆を用意して文章を音読しながら図を描いてみることを数回続けると効率よく覚えることができる場合が多いようです。
何も見ないで文章を声に出しながら白紙に図を描ければOK。もっと自信をつけたい場合はスラスラ言えて描けるまで数回繰り返します。
教師や教科書によっては、半径を変えて弧をかくように指導することがありますが、いたずらに生徒を混乱させるだけで大した意味はありません。原則、例外をごっちゃにして教えているようです。
前述のように、原則として、３つの弧を同じ半径のままで書いても大丈夫です。
下の画像を参考に練習。
