今回は予告通り、コンパスを使わない円（弧）の描き方です。
きれいな円を描くには、少し練習が必要です。数回でそこそこかけるようになるでしょう。
用紙と鉛筆二本を使います。
ボールペンでも構いません。
最初は慎重に。何度か描くうちにコツがつかめてスムーズに描けるようになります。
用紙を回転させるのがミソ。
本試験では、弧をかくことが多いので下描きならこのフリーハンドでOK。
普段の勉強でやれば下書きの練習にもなります。
下の画像を参考に。
（下手なフリーハンドなのは置いといて）
＜2021年度 都立日比谷 作図問題＞
三角形の合同を利用した作図例
プランニングが終わっていよいよ作図に入りますが、その前に解答用紙の図を確認しておきます。
ここでは点Ｐは定点として与えられていることを確認します。
では問題用紙の図で三角形の合同を使う作図の手順を検討します。
前回、プランニングでマーキングしたものを利用します。
ここでは△ＡＢＰと点Pを共有する合同な三角形を作図します。
清書ではないのでフリーハンドでＯＫです。
あとでコンパスを使わずに円をかく方法を取り上げます。
※賢い人は友達には教えないようにしましょう。
上の図では、△ＡＢＰ≡△Ａ'Ｂ'Ｐとなる△Ａ'Ｂ'Ｐを作図します。
説明のためにつけた図の「・」マークは同じ色の弧の中心を表します。
点線の辺Ａ'Ｂ'はかかなくてもＯＫ。
これができたら大問１の解答と一緒にまとめて解答欄で作図します。
参考のために模範解答の一例として挙げられている作図例を示しておきます。
なお青色点線部分はなくてもＯＫ。
（完結）
前回は、2021年度都立西高の作図問題を検討しました。
作図問題は、普段のちょっとした練習で意外に点の取りどころであることに気づいた受験生も少なくなかったのではないでしょうか。
引き続き作図問題ですが、今回は、2021年度都立日比谷高の問題を取り上げてみます。
次の図は、プランニングタイムで問題用紙にマーキングしたもので、下の図形は解答用紙にある図形です。
青色は問題を見たときに直観で思いついた事柄を表したものです。
内容自体はどれも基礎事項です。
解答用紙にいきなり描きこまず、問題用紙の上で作図の手順を完成（フリーハンド）させたのちに解答用紙に清書の作図をするのがよいでしょう。
※消しゴムを使うと時間の大幅ロスになるため最小限にとどめる。
やり方はいろいろあるので最も単純にかけそうなものを選びますが、時間のロスを避けるため原則として最初に思いついたもので描きます。
あくまで最初見た時点でのカンですが、３分あれば作図できそうな問題です。
今回は、模範解答とは異なるものを取り上げました。いろいろやってみる（別解検討）ことが実力養成のコツです。
ここではとりあえず③の三角形の合同を利用して作図することにしました。
（つづく）
下の図は、２０２１年度都立西高校数学の作図問題です。
例によって問題文にマーキングを入れています。
この問題を見た瞬間に、角の二等分線と直角の三等分線の融合問題とわかればほぼ１分で作図可能です。
逆に言えば、「角を等分する作図」では①角の二等分線と②直角の三等分線しか知らないのでそれ以外にない、つまりこれが使える問題だろうと予想がつくことになります。
ある意味、作図に対する自信とも言えますが。自信を持つことは数学の解法では案外有効な場合があります。
もっとも直角の三等分を知らないとほぼ致命的ですが。
簡単な計算をやってみると下の図のようになります。
できれば最初のプランニングでこれをやるとより確実＋時間短縮につながります。
では実際に作図をしてみます。
下の模範解答とは若干違うように見えるかもしれませんが、手順は同じです。
模範解答では30°の二等分線のところで小弧を描いていますが、上の解答例ではその代用として元の円周を利用し、ひと手間省いています。
以上、角の二等分線と直角の三等分線を利用して解く入試問題の例を紹介しました。
(完)
前回「角の二等分線」の作図について解説しました。
今回は、ことのついでに「角の三等分線」、正確には「直角の三等分線」を取り上げます。
「直角の三等分線」といっても特に目新しいものではなく、小学生でも知っている知識を使います。
先ずは、水平の直線に垂直な直線を立てて直角（∠R）を作ります。直角の作り方はいくつかありますが、ここでは下の方法でやってみます。
（豆知識）
直角（90°）は英語で「Right angle」といい、頭文字Rをとって∠Rという記号を用いる。
（直角を作る）
１．水平の直線上に２点Ｐ、Ｑをとって、それぞれＰ、Ｑを中心とする同じ半径の半円をかく。
※このとき、半円の半径の大きさは２点間の距離の1/2より長くする。
※半円の代わりにやや短かめの弧でも可。
２．これらの２つの半円の交点Ａ、Ｂを直線で結ぶ。
３．これで直角の出来上がり。
（直角の三等分線）
次に直角を三等分。すなわち90°を30°ずつに三等分します。
簡単なので下の図の手順をみれば角の二等分線のときと似ているのでおおよその検討がつくと思われます。
また、より分かるように手順１～５の解説をつけておきました。
ところで直角の三等分線は小学校でコンパス・定規を使って正三角形をかいたことのある人なら基本原理を知っているでしょう。
三角形と言えば上の図で気づいた人もいるかもしれません。
この図では特殊な三角形があります。
例えば
△AOP、△POQ、△QOB・・・頂角30°底角75°の二等辺三角形
△AOB・・・直角二等辺三角形。底角45°
△AOQ、△POB・・・正三角形。頂角60°
などなど。
ここでは、コンパスと定規で、90°はもちろんのこと、30°、45°、60°の角を作れることが分かりました。
さらに角の二等分線も引けるので30°の1/2の15°、さらにその1/2の7.5°も作れることになります。
ところで直角の三等分ができたからと言ってなんの役立つのかと言えば、2021年都立西高の作図問題でこれを利用する問題が出ました。 → 次回取り上げる予定
この問題は、直角の三等分線を知っている受験生なら１分で作図が完成できた（分殺問題）のではないかと思われます。
※ちなみに、数学の作図問題は、コンパスと定規を使って遊び感覚でいろいろお絵描きしているうちに自然に身につくものです。
作図の定型パターンは数えるほどしかないで、勉強の合間やヒマな時間にお絵描きの感覚でかいてみることがお勧め。