いつも読んでくださり
ありがとうございます
お待たせ？いたしました？？
一昨日の記事の補足です
長文です
ホントにホントに長文です
よろしければ
休み休み、休み休み、休み休み…
お付き合いください
★今回の内容★
①間に入る分数は無数にあるよ
(いくらでも作れる)
→ここが導入部分
②この考え方が使えるパターンと
分子(分母)を通分した方がいいパターン
の見分け方は？
→ここでモヤっとが晴れると嬉しい
③果たしてこれは公式化するべきなのか
→何なら読み飛ばして
いただいても結構です
の３点です
まず
前回の抜粋(ザクッとおさらい)
↓↓↓
７/９ < １３/□ < ６/７
□に入る整数は？
→真ん中の分子１３が
両端の分子の和(７+６)になっているので
分母も９+７の１６で終了
７/９ < (７+６)/(９+７) < ６/７ってコト
分子の和/分母の和 は、
必ず２つの分数の間に収まります
理由・考え方(イメージ)はこちら↓
こつばさん、雫さん
ブログ記事にとりあげてくださり
ありがとうございました
もっとも、私が気付いていないだけで
他にも紹介していただいている方が
いるかもしれませんね
ありがとうございました
訪問者数が爆上がり⤴️でビックリです
↑↑↑
前回の抜粋終わり
はい、すっきり解けましたねぇ
食塩水だなんてスゴいよ
さすがぴえーる…おいおい
でもね…それはそれで
たまたま分子(分母)が
足し算になってるから
成り立つんじゃないの？
とか
どんなパターンなら
この考え方が使えるの？
なんて、
次のもやもやが
当然出てくるよなぁ
今回はそこを深掘りして
お答えします
では本題
テーマ①
間に入る分数は無数にあるよ
(いくらでも作れる)
食塩水の混合は1:1だけでなく
どんなa:bでもあり得ますね
(もちろんabは正の整数)
例えば
７/９（薄い方の濃度）
…９ｇの食塩水のうち７ｇが食塩
６/７（濃い方の濃度）
…７ｇの食塩水のうち６ｇが食塩
それらを２:３で混ぜるとどうなるか
(７×２+６×３)/(９×２+７×３)
…３９ｇの食塩水のうち３２ｇが食塩
この濃度は
｢必ず｣２つの濃度の間に収まりますね
と、云うことで
７/９ < ３２/３９ < ６/７
が成り立ちました
すなわち
混合比を変えるだけで
間に収まる分数は
いくらでも作れるってコト
テーマ②
この考え方が使えるパターンと
正攻法、すなわち分子(分母)を
通分した方がいいパターン
の見分け方は？
これは…
カンのいい方は
もう気付いたかと思います
先ほどの例で
７/９ < △/□ < ６/７ であれば
(a:bの混合をして)
分子が７×a+６×bなら
分母は９×a+７×bになるってコト
例えば
分子が３３なら
７×a+６×b=３３
に当てはまるabを探します
７×３+６×２=３３
なので３:２の混合ですね
よって分母は
９×３+７×２=４１ になります
…ここからは
文字式でのまとめになります
あ゛あ゛～っっ
文字式…
て思われた方は
★★まで飛ばしてください
すなわち
p/q < △/□ < x/y で
分子△=p×a+x×b ならば
分母□=q×a+y×b になるってコト
もちろんabは正の整数
｢０｣は混ぜ合わせにならないからNG
そんなabがすぐ見つかれば
この方法は使えるし
見つけるのに時間がかかるか
あるいはabが存在しなければ
正攻法、分子(分母)の通分で解くコトになります
★★文字式おわり
ただいま
…お帰りなさい
テーマ③
果たしてこれは公式化するべきなのか
う～ん…難しい
…人とタイミングによるかな
公式として覚えるとしても
｢出たらラッキー｣ぐらいの感覚で
(｢万が一｣出会ったら瞬殺してやる
)
まずはベーシックな
通分のやり方を身に付けてからかな
本来は
通分は整数倍でなくてもできるんだよ
分数倍でも同じように解けるかな？
って問題(のはず)
この計算では
例えば７→１３は１３/７倍だね
ってのを定着させたいんだよね
そこがちゃんとできる子が
余力で公式として
記憶の片隅に置くのはアリ
ただ
今回のを公式として覚えたとて
入試では
abが見つからない
(約分がからむ)問題の可能性が大
実際、この問題を見たとき
まず｢分子を通分する｣
が頭に浮かびました
なので
授業では
正攻法の分子(分母)の通分を教えます
ちゃんと計算さえできれば
正攻法でも
そんなには時間はかからないし
(瞬殺はムリだけど)
じゃあ
何でこの問題を紹介したかって？
まずひとつは
考える過程が
純粋に楽しかったから
まずは普通に(通分で)解く
→あれ？分子も分母も和だぞ
→たまたまかな？
→他の数字だとどうかな？
→やっぱり成り立つぞ
→文字式で証明しよう
→やっぱり証明できた
→でも文字式は小学生にはちょっと…
→小学生にどうやって説明しよう…
→身近な例えはないかなぁ
→足したら間に収まるのか…
→食塩水(平均)みたいだな
→おぉ、イケたじゃん
この過程の楽しさそしてスッキリ感
もうひとつは
この問題を見て
何で分子が和だったら
分母も和なんだろう？って
モヤモヤしていた人たちや
どうやって子供に説明しようかしら？って
悩んでる人たちと
スッキリ感を共有したかったから
(そして、そのスッキリ感は
共有できたと思っています)
計算問題が
文章題のアプローチで解けたら
パズルみたいで面白いでしょ？
ね？ね？(押し売り？)
前回の記事の最後がすべて
↓↓↓
違った視点を持ち込むコトで
なるほどなぁ が現れる
違う単元の考え方と
有機的に繋がっているコトに気づく
いろんな考え方があっていい
それこそ
算数の醍醐味のひとつですね
長文、お付き合いくださり
ありがとうございました