40.アキレスと亀

この間電車の吊り広告でこんなの見たんですよ。

123/95 , 127/97 , 131/99・・・・と、分母が2、分子が4ずつ増える数を考える。

この数は□に近づいて大きくなるが、□を越えない。

□に入る数を答えよ。

数字はテキトーです。（なぜテキトーかは後で説明します）

どっかの塾の広告ですね。（あ、ちなみにうちじゃないよ。うちはそんなの解ける奴いな・・・）

これ、難しいですよね。

高校の極限とか使えば楽勝ですが、中学入試問題。

つまり、算数。文字すら使えないルール。

まず、高校風に解いてみましょう。

数列 {An} = {123/95 , 127/97 , 131/99 , ・・・}　の一般項Anについて

An = (123+4n)/(95+2n)

= (123/2n + 2)/(95/2n + 1) (分子分母共に2nで割った)

であるから、極限n→無限大を取ると

An → (0+2)/(0+1) (123/2nも95/2nもnがデカくなれば0になる)

= 2

って感じで答え2が出ます。

なぜ数字がテキトーでいいかというと、太字の部分。

この分母123とか分子95はなんでもいいですよね。(これ、実はよくない。更に後で説明します)

だから覚えてたのは4ずつ、2ずつってトコだけです。

これを・・・・・・小学生風に解く・・・？

よくわかんないけど、数字がどんどんドンドンDong Dong Ding Dongでっかくなったら、分子も分母も4n、2nとみなせるってことを使うんでしょうかね。

そんなわけで、乙矢趣味。こんなものを作りました。

123 127 131 135 ・・・　って続いていくわけで、全然4の倍数どころか偶数ですらないんですが・・・

こんな感じで123と0、127と4、131と8・・・は全然違うけど

数字がでかくなればほとんど一緒ですね。

俺こういう説明すごい嫌いなんですがね。だから極限使った方が好き。

はい。

先ほどの(123+4n)/(95+2n)をグラフにしました。

・・・と、これだけじゃ面白くないから、第一項の分子、分母をいじってみました。

(C+4n)/(M+2n)で。

（Cは分子でchild Mは分母でmother）

（本当は分子はnumerator　分母はdenominator）

これが意外と面白い。

まず、Mが大きいとき。

ちゃんと一定（＝２）に近づく。

これがさ、Cをでかくしてくと曲がり方が浅くなるのね。

まぁ、これは大体予想できた。

大体C=2Mのとき

はい。ずっと一定。

これはつまり

(C+4n)/(M+2n) = (2M+4n)/(M+2n)

= 2 (M+2n)/(M+2n) =2

例えば　198/99 202/101 206/103 ・・・

って感じでnに関係なく全部約分して2になっちゃうよ　ってこと。

あれ？

じゃ、そのあと、Cがもっとでかくなったら・・・

おお。2より大きいところから段々下がって2に近づく。

（グラフの範囲を2より大きくしてたのはこのため。やり始めてから直しました）

まぁ、確かに100/2 104/4 108/6 ・・・　とかだったら最初50だもんな。

ここで、先ほどの青字回収。

この数は□に近づいて大きくなるが、□を越えない。

この分母123とか分子95はなんでもいいですよね。

これがよくないのは一目瞭然。

分母が分子の2倍以上になっちゃマズいんですね。□は2だけど、越えないって言われてるから。

だから、正確な問題の数字は覚えてないけど、

　　4ずつ,2ずつ増える

　　分母が分子の2倍以下

ということだけ記憶してブログのネタにしたわけです。

中学入試の問題は、所詮小学生の解く問題だけど、中学・高校以降の技術を使って解いても面白みはあるってことですね。

むしろ、先の知識を使うってことで言えば、大学入試の問題の方が面白みがない。

ってことは、数学が一番面白くなるのはやっぱ中高ってことだね。

書いてても面白いし、今後もこのシリーズでやってみようかな。

で、タイトル回収。

これ宿題にしよう。

[宿題]

アキレスは亀より足速いけど、一度抜かれた亀を追い越せない。

　　　　　　　　　　　　亀

アキレス

　　　　　　　　　　　↓

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　亀

　　　　　　　　　　　アキレス

みたいな連鎖が無限に続く。

って話あったじゃないですか。

仮にアキレスが時速10km、亀が時速1km（亀速いな）で走ったとして、

アキレスは亀を追い抜けるけど、移動距離の比は一定以上にならない。

さて、アキレスの移動距離は亀の移動距離の何倍以上になれないのか。