この問題の解答編です。
①の既約分数の個数に関してです。
180を素因数分解すると、180＝2^2×3^2×5となるので、約分できるとすれば、2or3or5です。
つまり約分できない分数は、2の倍数,3の倍数,5の倍数のいずれでもないものです。
1～180に関して、
2の倍数は、180÷2＝90個
3の倍数は、180÷3＝60個
5の倍数は、180÷5＝36個
2と3の公倍数は、180÷6＝30個
3と5の公倍数は、180÷15＝12個
5と2の公倍数は、180÷10＝18個
2と3と5の公倍数は、180÷30＝6個
なので、
180-（90+60+36-30-12-18+6）＝48個
となります。3種類のベン図での解法ですよね。
これは最も一般的な解法だと思います。
その他にオイラーのΦ関数を使う手段もあります。
これは・・・
180までの中の2の倍数は全体の1/2なので、それを除外すると、全体の1/2が残ります。
残った中では3の倍数が1/3あるので、それを除外すると、2/3が残ります。
また残った中では5の倍数が1/5あるので、それを除外すると、4/5が残ります。
結果として、180×1/2×2/3×4/5＝48個
ということになります。
次に合計に関して、考えてみます。
これもベン図での解法を、総和として使っても構いません。それが最も一般的な解法でしょう。
また、2.3.5の最小公倍数である30まで該当する数字を列挙してみる方法もあります。
1.7.11.13.17.19.23.29ですので、1～30での合計は120となっています。
31～60では、すべてが30増加するので、120+30×8＝360
以降も同様に、初項120 公差240 項数6の等差数列の和を考えて、
120+360+600+840+1080+1320＝（120+1320）×6÷2＝4320
分子の和が4320なので、4320/180＝24
このように考えるのが、中学受験では一般的でしょうか。周期算というものですね。
複数路線のバスが同時に発車する問題、点滅する複数の電球が同時に点灯する問題などで有名なあれです。
そして今回の問題の最もクールな答えは・・・48×1/2＝24と解答する方法です。
この解答を寄せてくれた人もいました。
なぜこのような答えになるのか・・・是非考えてみてください。
いくた
