ビジネスレターの結びで
We're looking forward to hearing from you soon.
を使います。
当社は貴社からのお返事を心待ちにしています。
soon は 遅いより早い方が望ましいけれど、
非常に急いでいる場合でないときに使います。
したがって、We're looking forward to hearing from you
のあとに、as soon as possible は使えません。
なぜなら、as soon as possibleは 相手の確認を急いでおり、
確認の緊急性が重要な場合で締め切りがはっきりと
していない場合に使うからです。
またWe're looking forward to hearing from you
のあとに、 by June 3rdも使えません。
なぜなら、by June 3rdがつくと、相手の確認を急いでいて、
確認の緊急性が重要な上に、締め切りがはっきりとしているから
です。