2004年の桐蔭学園の入試問題です。
立方体の切断がテーマです。
【問題】
一辺の長さが１の立方体ABCD－EFGHがある。辺AD上にAI＝2/3 となる点Iを，辺AE上にAJ＝1/3となる点Jを，辺BF上にBK＝2/3となる点Kをとる。
３点I，J，Kを通る平面Tと辺CGの交点をLとする。
（1） CLの長さを求めよ。
（2）頂点Bから平面Tに下ろした垂線の長さを求めよ。
（3）立方体ABCD-EFGHを平面Tで切った２つの立体のうち，辺ABを含む方の立体の体積を求めよ。
【解説】
頂点Bを基点として，図のように辺BA，BCを延長して平面Tを拡大します。
（1）向かい合った面の切り口の線分は平行になるので
IJ//LK
です。点Iから，横に2/3進み，上に1/3進みとJに至ります。
「横2，上1の比率」で進むという傾きです。
LからKも同じ傾きなので
点Lから横に1，上に1/2進めばKに至ることになります。
LC＝2/3－1/2＝1/6 ・・・（答）
（2）
△PAJ∽△PBK 相似比はAJ：BK＝1：2
よって，BP＝2
△QCL∽△QBK 相似比はCL：BK＝1：4
よって，BQ＝4/3
逆三平方の定理 より
垂線の長さをhとおくと
1/h^2＝1/BP＾2＋1/BK^2＋1/BQ^2
＝1/4＋9/4＋9/16＝49/16
h＝4/7 ・・・（答）
（3）
求める体積＝（三角錐K-BPQ）－（三角錐J-AIP）－（三角錐L-QMC）
三角錐KBPQ＝（4/3×2÷2）×2/3÷3＝8/27
三角錐JAIP＝（2/3×1÷2）×1/3÷3＝1/27
LM//KJよりMC＝1/2
三角錐LQMC＝（1/3×1/2÷2）×1/6÷3＝1/216
8/27－1/27－1/216＝55/216 ・・・(答）