表記について
a[n] は an（nは下付の添え字）の意味
a^n は aのn乗の意味です。
【問題】
整数からなる数列｛an｝を漸化式
a[1]＝1，a[2]＝3
a[ｎ+2]＝3a[n+1]－7a[n] （n＝1，2，・・・）
によって定める。
（1） a[n]が偶数となることと，nが3の倍数となることは同値であることを示せ。
（2） a[n]が10の倍数となるための条件を（1）と同様の形式で求めよ。
【解説】
同値であることを示すときは
（ア） a[n]＝偶数 ならば nは3の倍数
（イ） nが3の倍数 ならば a[n]＝偶数
の両方を証明しなければなりません。
（ア）は，その対偶（ア’）を証明する方が取り組みやすくなります。それは，
「6番目は偶数か奇数か？」の方が「偶数になるのは何番目？」より答えやすいからです。
（ア’） nが3の倍数でない ならば a[n]は奇数
（イ） nが3の倍数 ならば a[n]＝偶数
を証明します。
まず，数列を計算して書き並べて確かめると
1， 3， 2， -15， -59， -72， 197， 1095， 1906， -1947， -19183， -43920，・・・
3番目，6番目，9番目・・・は偶数でが，それ以外は奇数になっています。
a[n+3]＝奇数×a[n]＋偶数
という形に持っていけば，
a[1]＝奇数 ならば a[4]＝奇数×奇数＋偶数＝奇数，a[7]＝奇数・・・・・
a[2]＝奇数 ならば a[5]＝奇数×奇数＋偶数＝奇数，a[8]＝奇数・・・・・
a[3]＝偶数 ならば a[6]＝奇数×偶数＋偶数＝偶数，a[9]＝偶数・・・・・
となるので，証明が完成します。
a[ｎ+2]＝3a[n+1]－7a[n] ・・・① より nを1つ増やして
a[ｎ+3]＝3a[n+2]－7a[n+1] ・・・② これに①を代入して
a[n+3]＝2a[n+1]－21a[n]＝a[n]＋2（a[n+1]－11a[n]） ・・・③よって
a[n+3]＝a[n]＋偶数
また，a[1]＝奇数，a[2]＝奇数，a[3]＝偶数
帰納的に a[n]＝偶数 ⇔ n＝3の倍数 がいえる。
（2） 10の倍数が初めて登場するのは a[12] です。
まず，答は「nが12の倍数」ではないかと予想します。
10の倍数＝偶数かつ5の倍数 なので
「a[n]＝5の倍数⇔nは4の倍数」がいえれば
a[n]＝10の倍数 ⇔ nが3の倍数かつ4の倍数 ⇔ nが12の倍数
となって予想を証明できます。
実際
a[1]≠5の倍数
a[2]≠5の倍数
a[3]≠5の倍数
a[4]＝5の倍数
になっているので
a[n+4]＝（5の倍数でない数）×a[n]＋（5の倍数）
を目標に漸化式を変形します。
①でnを2つ増やして
a[n+4]＝3a[n+3]－7a[n+2] これに③，①を代入して
a[n+4]＝3（2a[n+1]－21a[n]）－7（3a[n+1]－7a[n]）
＝-14a[n]－15a[n+1]
＝（5の倍数でない数）×a[n]＋（5の倍数）
∴a[n]＝5の倍数⇔nは4の倍数
∴a[n]＝10の倍数⇔nは12の倍数