「りんごが3個，みかんが2個，全部でいくつあるか。」という問題を，
３＋２＝５と立式して答を得る前に，
●●●＋●●＝●●●●●
とイメージすることは，全然おかしくないし，教科書でも，■などのブロックを使って説明している。
しかし，これが，「りんごが3個ずつ2枚のお皿にのっている。りんごは全部で何個か。」という問題を，
３×２＝６と立式する前に，
●●●×●●＝●●●●●●
とイメージすると違和感が生じるし，教科書でもそのような説明はしていない。
りんごやみかんを「具象」，３や２の数を「抽象」というのに対し，●や■などを「半具象」ということがある。数教協的にいえば「シェーマ」ということになる。数教協では，半具象（シェーマ）として正方形タイルやかけわり図などを使うし，方程式を使えない受験算数では，線分図や面積図などを使うが，これも半具象ということになるだろう。
具象は，「モノ」そのものだが，半具象は，モノの大きさ（量）としての面だけを抽象したもの，数は，その量をさらに抽象したものとなるだろう。
「りんご3個とみかん2個」を，「●●●＋●●」という半具象でイメージするときは，りんごやみかんの質の違いは捨象して，（果物の）個数という量をイメージしているし，「３＋２＝５」となれば，３という数（記号）と２という数（記号）に５という数（記号）を対応させるある演算という理解に至る。しかし，３＋４＝６という式を見た瞬間に間違いと思える（違和感がある）のは，数を単なる記号ではなく，量の感覚でもイメージしているからだろう。
このように数に量のイメージが残ることは悪いことではない。問題は，量から数へ抽象化できないことであり，数の演算の「意味」を常に量に還元して理解しようとすることだろう。（たとえば，除数の逆数をかけるという「分数のわり算の仕方」をタイル図や線分図で説明しようとすると，かえって分かりにくくなる。
http://ameblo.jp/metameta7/entry-11247416036.html ）
加減の理解に，おはじきやタイルの半具象が役立つことは，正負の数の場合についても言える。http://ameblo.jp/metameta7/entry-11155182308.html
思えば，古代中国の算木も，正負の数を赤黒の算木で表すシェーマであった。
しかし，３×２の乗除を，●●●×●● と表すことは「おかしい」と私たちの感覚は反応する。
「３×２」という式自体は，抽象的な数の乗法を表しているが，それを量のかけ算に還元して解釈しようとするとき「●●●×●●」と表すのはおかしいと感ずるのは，「３×２」の式を量として理解するとき，３が１とするものと，２が１とするものとは違うと私たちが知っているからだろう。
それは，「りんごが3個ずつ」の3，「2枚のお皿」の2だから，りんごの1とお皿の1が違うという質の違いではない。質の違いを言うなら，足し算の場合でも，りんごの1とみかんの1も質としては違うが，量としては同じとみなして，りんご3とみかん2の和を，●●●＋●●と表すことに違和感はなかった。
しかし，かけ算の場合は，●●●×●●において，●●●の●と，●●の●とは，量として違う。
もし，●●●×●●が，「3個ずつ2つ」を表している（●●●＋●●●という累加）なら，×記号の前の●●●と後の●●は，1とするものが違う。後の●は，前の●●●を1とみなした●だ。このように量として1とするものが違うのだから，その違いをはっきりさせるには，●●●×●●は，●●●× とでも表した方がよい。
そして，「りんごが3個ずつ2枚のお皿にのっている」ことを「量」として表わすなら，
●●●× ＝●●● ●●● あるいは，
×●●●＝●●● ●●● となる。
この表式を見れば，かけ算は入れ子構造になっていることがわかる。
16世紀フランスのヴィエトは，現在なら「3B×A」あるいは，「3BA」（Aが未知数，Bが既知数）と書くところを「B3inA」というように乗号×を「in」で書いたし，イギリスのオートレッドは，1631年の本で乗法を「2つの数をinまたは×で結ぶ」と書いた（片野善一郎『数学用語を記号ものがたり』18，19頁）。明治32年（1899年）に日本で翻訳された『チャールス・スミス氏代数学講義録並例題解』(4頁)には，「符号×ハいんつート読ム即チ乗号ナリ」とある。
かけ算の「3 in 5」という表式，あるいは，「3×5」という式を「3 into 5」と読んだということは，欧米では，かけ算は入れ子構造という理解があったのでしょう。
（補注）
なお，３×２を，●●●×●●と，被乗数・乗数を同じ●で表すことに違和感はあるが，ソロバンで，乗数も被乗数も同じ珠で表すことに違和感がないのは，そういうものだと先入観ができていることもあるし，珠を抽象的な数として理解しているということでしょう。
「3×2」を●を使って量で表すと，
●●●
●●●
あるいは，
●●
●●
●●
となることを，かけ算の導入時から教えるのが，現在の中国の教科書であり，日本では数研出版の「非検定」教科書であることも，すでに触れた。
http://ameblo.jp/metameta7/entry-11162549314.html
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