筑波大附属小学校算数研究部・企画編集『かけ算を究める』
●磯田正美「かけ算の歴史に学ぶ」8～11ページ
●坪田耕三「かけ算九九の歴史」34～35ページ
「被乗数」と「乗数」の用語の使い方がおかしい論考がある。
「かけ算の歴史に学ぶ」を書かれた磯田正美（筑波大学教育開発国際協力研究センター）さんは，10ページで，「日本の九九表は3×1，3×2，3×3と頭の数（被乗数）をそろえる。中国では，歴史上，乗数（後ろの数）をそろえる。」と書かれている。
しかし，日本でも江戸時代が始まるまでは中国の九九表を使用していた。江戸時代の『塵劫記』から西洋と同じ九九表「も」使うようになった。（詳細は『かけ算には順序があるのか』第2章参照）
それはさておき，これでは，被乗数は「×の前（左）にある数」，乗数は「×の後（右）にある数」ということになってしまう。確かに，広辞苑もそのように，式の中の「位置」で説明「も」している。しかし，本来，被乗数・乗数は，同数の物が複数個あって，同数を累加して総数を求めるとき，同数（1つ分）の方を被乗数，累加する回数（いくつ分）の方を乗数と呼ぶという，「意味」の違いがあったはずである。
つまり，同書34ページで，坪田耕三（筑波大学教授）さんが，「「八九，七十二」というのは，「八個ありますよ，九個の物が」という意味であり」と書いているような意味の違いがあった。「八九」では，八がいくつ分，九が1つ分である。
ところが，その坪田さんが，九九は，「「九九，八十一」の次は「八九，七十二」「七九，六十三」と続くもので，乗数がそろっている」と書く。同数個の「九個」の方を「乗数」としている。「被乗数・乗数」の本来の意味を無視した使い分けで，これでは読む方が混乱する。
先の磯田さんの方は，本人が混乱しているように見える。
「英語圏，スペイン語圏では，九九表は日本のように被乗数をそろえる九九表を用いる。」と書かれる。ここでの「被乗数」は，×の前（左）にある数のことで，確かに，英語圏，スペイン語圏の九九表は，前数がそろっている。しかし，その前数の意味の理解は，英語では，「1つ分」（被乗数）から「いくつ分」（乗数）へと変化した（2，3世紀をかけて，主流の理解が）。
磯田さんは，そういう歴史的経過を顧慮せず，現在の言い方（times）だけから，インドヨーロッパ語族，英語圏，スペイン語圏で矛盾が出現していると書く。つまり，4×3を“four times three”と読む言葉の言い方（定義）では，1つ分は後数（これを「乗数」と呼んでいる）だから，後数（乗数）をそろえた九九表でないとおかしいのに，なぜ九九表は前数（「被乗数」）でそろえているのか，その理由は，「ヨーロッパが数学を輸入したアラビアでは，文書は右から左に横書きする。アラビア数字で右から左に書いた文書をヨーロッパ人は翻訳の際に左から右に読んだというのである」と書く。これは，本人がすぐ，「その真偽は不明だが」とフォロウしているが，噴飯物である。
「アラビア数字で右から左に書いた文書」というのは，アラビア数字と「×」を使って書いたかけ算の式のことを指しているのだろうか。文脈上はそのようにしか読めないが，ヨーロッパがアラビアからアラビア数字と数学を輸入したのは，13世紀初めのピサのレオナルドことフィボナッチを嚆矢とし，この段階では「×」記号は存在せず，したがって，かけ算を記号式で表すことはなかった。だから，存在しない式をヨーロッパ人が左から右に読んだということはありえようはずがない。
かけ算の式表現は，1631年のイギリスのWilliam Oughtred の本に始まることは，以前も触れた。http://ameblo.jp/metameta7/entry-10792484726.html
磯田さんの混乱（としか思えないのだが）の方は，さらに進行していて，「現在，定義と九九表が矛盾するため，その対処に迫られる国は多い。特に交換法則を優先する国では，式と言葉が対応しなくてもよくなり，結果として等分除・包含除の区別を式の上でする必要を認めない教師，子どもが生まれる。」（11ページ）と書く。
一瞬，何のことかわからなかった。かけ算の話になんで急にわり算の話が出てくるのか。それに，「等分除・包含除の区別を式の上でする」ことが可能なのか？ 12個のみかんを3人に分けると1人何個ずつ（等分除）と，12個のみかんを1人に3個ずつあげると何人に分けられる（包含除）の区別を式の上ですることができる？ どっちも，12÷3ではないのか。「1つ分×いくつ分」の式と「いくつ分×1つ分」の式の区別と，等分除・包含除の区別がゴッチャになったのではないだろうか。
しかし，混乱はここで終わらない。
「現在，各社教科書が採用する二数直線（比例数直線）を数学の世界で最初に採用したのは，デカルトである。」とある。しかし，現在，各社教科書が採用する二重数直線図は，2本の平行な数直線を並べたものであり，この始まりは，「新しい算数研究」1979年7月号に掲載された中島健三さんの「小数のかけ算（導入）（5年）」の公開授業研究で使われた「テープ図」ではないのか。デカルトの相似三角形の比例数直線は平行ではないし，これを現在，教科書にある二重数直線の元祖と言うのは，ちょっとケレンが過ぎないか。