わりと広く知られている数字のマジック。
ある自然数について
各桁の数の和が3で割り切れる時
その自然数は3で割り切れる
以前これについて、日記の中で証明したのだが、
その過程で、俺は全く別のことに気付いた。
「まきしま予想」
ある自然数について
各桁の数の和が9で割り切れる時
その自然数は9で割り切れる
よって以下、この「まきしま予想」を証明する。
ある自然数Ｎについて、
一の位、十の位、百の位、千の位…の数を
それぞれａ、ｂ、ｃ、ｄ…とする。
（ａ、ｂ、ｃ、ｄ…は0及び一桁の自然数）
この時、
Ｎ＝ａ＋10ｂ＋100ｃ＋1000ｄ＋… と表せる。
今、
ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋…＝9α （αは自然数）
が成り立つならば、
Ｎ＝ａ＋10ｂ＋100ｃ＋1000ｄ＋…
＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋…）＋9ｂ＋99ｃ＋999ｄ＋…
＝9α＋9（ｂ＋11ｃ＋111ｄ＋…）
ここで、
β＝ｂ＋11ｃ＋111ｄ＋… とすると、
Ｎ＝9（α＋β）
よってＮが9で割り切れることは自明である。
以上より「まきしま予想」は真であり、
ある自然数の各桁の和が9で割り切れる時、
その自然数は9で割り切れる。
講義終わり！