12は3で割り切れるだろうか？
答えはYES。
69は3で割り切れるだろうか？
答えはYES。
ならば、1893762は3で割り切れるだろうか？
答えは…YES！
恐らく中学時代、
誰もが耳にし普通に知ってることであろう。
ある自然数について、
各桁の数を全て足し合わせて出来た数が、
3で割り切れるならば、
その自然数もまた3で割り切れる。
当然俺も、20年くらい前に聞いて知ってはいたのだが…
そういえば考えたこともなかった。
「なぜ、そうなるのだろう？」
疑問に気付いた時点で、答えは99％手中にある！
そこで証明を試みた。
ある自然数Ｎについて、
一の位、十の位、百の位、千の位…各桁の数を、
ａ、ｂ、ｃ、ｄ…とする。
（ａ、ｂ、ｃ、ｄ…は0または自然数）
この時、
Ｎ＝ａ＋10ｂ＋100ｃ＋1000ｄ＋… と表せる。
今、
ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋…＝3α （αは自然数）
が成り立つならば、
Ｎ＝ａ＋10ｂ＋100ｃ＋1000ｄ＋…
＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋…）＋9ｂ＋99ｃ＋999ｄ＋…
＝3α＋9（b＋11ｃ＋111ｄ＋…）
ここで、
β＝ｂ＋11ｃ＋111ｄ＋… とすると、
Ｎ＝3α＋9β
＝3（α＋3β）
上式より、Ｎが3で割り切れることは自明である。
以上、証明終わり！
明日誰かにドヤ顔で語りたくなった方は、
ぜひ明日誰かにドヤ顔で語って欲しい。