2020年 早稲田大学高等学院 数学 解答・解説

2020年 早稲田大学高等学院 

　　　　 数学(解答・解説)

　それでは、まずは偉人の言葉からです　

『……私は数学の専門家で

　はなく一人の崇拝者にす

　ぎない.学問の中でも最た

　るこの美女に惚れ込んだ

　失意の男だ.』

（Ｐ・ヴァレリ，フランスの詩人，

                            1871-1945）

2020 早稲田大学高等学院の数学

最後の第４問ですが,大問４題の中で

この第４問が一番厄介です

試験時間５０分という中で大問４題、

いずれも中学生の問題としては

超難問だと思います　それどころか

早稲田大学・各学部の大学入試を考慮

しても,実は,高校入試にもかかわらず,

早稲田・商に次ぐ難しさだと思います

今回の下の問題は,“高校入試”の問題

ですが、初っ端から戦意を喪失してし

まいそうな出題です　まるで,あの

“早稲田・商”の,“高校入試版”のような

感じです“高校の数Ⅰ・数Ａぐらいま

では、やっておいてください”という

ようなメッセージに思えますね

下の問題を解いてみて,皆さんはどの

ように御感じになられますでしょうか

それでは、最初は解答を見ずにチャレンジしてみてください。　

（問題）

（※時間の目安）　　（１）①５分　②７分　③　　（２）５分　　　　　

（ますいしいの解答）

コメント；（１）“九九表”を題材とした問題ですが、②からやって、

　　　　　　　 １から８１までの数をしらみつぶしに書き出すのが

　　　　　　　 時短ですね　その上で①を調べます

　　　　　　　 ③は、スルーした方も多いと思います

　　　　　　　 “階乗！”と“指数法則”を使いこなせるようにして

　　　　　　　 おいた方がよさそうですね

　　　　　　　 因みに“九九表の総積”は上のように素因数分解

　　　　　　　 されますが、“九九表の総和＝２０２５”となります

　　　　　（２）“高校の数Ⅰの２次方程式”はやっておくべきですね

　　　　　　　 上では、できるだけ詳しく解説しましたが、直観的

　　　　　　　 に意識できていればよいでしょう

　　　　　　　 ③は、“高校の判別式（＝解の公式の√の中）”、

　　　　　　　 ですが、よく考えたら、設問で２次方程式とは言わ

　　　　　　　 ずに、“方程式”としか言ってないですね

　　　　　　　 ちょっと、“一休さんのとんち”のような問題ですね

（※時間の目安）　　（１）４分　（２）２分　（３）３分　（４）７分　　　　　

（ますいしいの解答）

コメント；（１）上の〔１〕の式は、高校数学“数Ⅱ・微分法”の接線の

　　　　　　　 方程式なのですが……その知識のない中学生には

　　　　　　　 苦肉の策で、“点（ａ，1/2・ａ^2）のみを通る直線”と

　　　　　　　 いうふうな言い方をしているんですね

　　　　　（２）“傾き√3ときたらｘ軸となす角60°”と反応しましょう

　　　　　（３）上の①と②の式を連立するのですが、直ちに、ｘ－√3

　　　　　　　 なる因数を持つことに反応できると、因数分解できるの

　　　　　　　 ですが、その辺のところを、きちんとした進学塾などで

　　　　　　　 あれば指導できているとは思うのですが……

　　　　　（４）高校入試では超頻出の、いわゆる、

　　　　　　　 “平行線による三角形の面積の等積移動”

　　　　　　　 なのですが、ｙ切片に注目して上のように処理するのは

　　　　　　　 常套手段ですね　ただ、かなりの計算力が要求され

　　　　　　　 ますね　今年の“早稲田大学高等学院数学の数学”

　　　　　　　 は、５０分という時間を考えたら、かなり厳しい……

（※時間の目安）　　（１）２分　　（２）３分　　（３）①　②　　　　

（ますいしいの解答）

コメント；（１）（球の体積）＝4/3・πｒ^3（積分で導出できます）

　　　　　　　 因みに、（球の表面積）＝4πｒ^2 （重積分で）ですね

　　　　　（２）球の平面による切断面は“円”となりますね

　　　　　　　 Ｓは、△ＢＤＥの内接円の周及び内部ですね

　　　　　（３）①点Ｍより平面ＢＤＥに下した垂線の足が正方形

　　　　　　　 　ＡＥＦＢの対角線の交点となりますこの点をＫ

　　　　　　　　 とすると、線分ＫＰが最大となるとき、すなわち

　　　　　　　　 ＫＰ＝（△ＢＤＥの内接円の直径）となるときです

　　　　　　　 ②これなどは、難関大学理系入試に出題されても

　　　　　　　　 もよいような良問ですね　“折れ線”は一直線

　　　　　　　　 に持ち込めというのが鉄則ですね

　　　　　　　　 一応、上のように（中学生流）に簡易的に解いてみま

　　　　　　　　 たが、限られた時間内（50分）に（３）を完答するのは

　　　　　　　　 厳しかったのではないかと思います　

　　　　　　  　  かなりの訓練と“高度な空間認識能力”を鍛えないと

　　　　　　       いけませんね

　実は、上の（３）の①、②は大学入試

としてもよいような難問です

大学入試をされる方もぜひ取り組んで

欲しい問題です

（高校生流）と（中学生流）の２通りで

解いてみました<(_ _)>

とても良問です作問者には敬意を表した

いと思います<(_ _)>

（※時間の目安）　（１）３分　（２）１０分　（３）１分　（４）５分　　　

（ますいしいの解答）

コメント；厄介な問題でしたね

　　　　　（１）これは、超頻出で直ちにですね

　　　　　（２）上のように、“地道に数え上げて”導出しましたが、

　　　　　　　 何かもっと簡潔な解法があったら御教授ください<(_ _)>

　　　　　（３）直観的には、直ちにだと思うのですが

　　　　　（４）これも、直観的には導出できるかもしれませんが、

　　　　　　　 きちんと解答を作るとなると大変な問題ですね

　　　　　　　 ますいしいは、“一筆書き”の手法に持ち込んで

　　　　　　　 みました　有名問題に、“ケーニヒスベルグの橋”

　　　　　　　 （ケーニヒスベルグは東プロシア・現在のロシア西部

　　　　　　　　にあり、1736年にオイラーが解決しましたが、

　　　　　　　　 以後トポロジーやグラフ理論などのはしりとなった）

　　　　　　　　 “一筆書きができる条件”は、

　　　　　　　　 ①すべての点が偶点

　　　　　　　　 ②奇点は２個のみ

　　　　　　　　 で、上の問題は②の場合ということになります

　　　　　以上で、2020早稲田大学高等学院の数学を見てきましたが、

　　　　　たいへんな問題のオンパレードでしたね

　　　　　最後に、下に“解答用紙”をアップしておきます

（配点は、ますいしいが、勝手に考えました）

　本番では、

　[１]（１）①５点　②６点　③　（２）

　[２]（１）～（４） ２５点　（頑張って）

　[３]（１）５点　（２）６点　（３）①　②

　[４]（１）６点　（２）　（３）７点　（４）

　50～60点が合格圏内でしょうか

　　それでは、次回をお楽しみに

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｂｙ　　　　　　　ますいしい

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