2013年 東京大学・理科(前期)
数学 第４問 (解答・解説)
おはようございます。ますいしいです
今朝は快晴
富士山
もくっきりと見えます
まずは、本日第２弾目の偉人の言葉からです
『……代数学を学ぼうと
する者にとっては,一つ
の問題を四つの異なる
方法で解く方が,異なる
三つ四つの問題を解く
よりも,ためになること
がよくある.一つの問題
を別々の方法で解いて
みると,比較によってど
れが簡潔で能率的な方
法であるかを明らかに
することができる.それ
が経験になるのである.』
（W・ソーヤ，イギリスの数学教育学者）
今回の下の問題はいろいろな
解法が考えられます
皆さん
も、いろいろな解法を考え、もし
こんな手法もあるという方がおら
れましたらコメント下さい<(_ _)>
御待ちしております
それでは，最初は解答を見ずにチャレンジしてみてください
（問題）
（※ 時間の目安） （１）５分 （２）２０分 （解１）に気づけば、７分 
Fermat point
（ますいしいの解答）
（質問の回答）
コメント；いかがでしたでしょうか？楽しんで頂けましたでしょうか？
（１）①の式より、それぞれ単位ベクトルの和がゼロベクトル
ですから、点Pは正三角形の重心・内心・外心・垂心と
なりますから、直ちに∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°
が、ピンときます
もし、これが、空間に次元を上げれば、点Pは正四面体
の重心ということになります
（２）上のような４通りの解法を考えてみました
（解１）これに気づければ、最速の解法となります
（解２）“余弦定理”から、３元２次方程式を解きます
ここで、面積を利用して上の③を使えば楽に
なります
（解３）上のように円と結びつけます 円に内接する
四角形の対角の和は180°ですから、上のような
二つの円の交点として、点Pを導出できます
（解４）“数Ⅲの複素数平面の回転移動”を使って、
導出する手法です
ここで、α＝ａ＋ｂｉ ，β＝ｃ＋ｄｉ で、
α//β ⇔ ａｄ － ｂｃ ＝ 0
α⊥β ⇔ ａｃ ＋ bd ＝ 0 です
（注）上の点Ｐは“フェルマー点”と呼ばれています。
三角形ＡＢＣのすべての内角が120°未満のとき、
△ＡＢＣの内部に∠ＡＰＢ=∠ＢＰＣ=∠ＣＰＢ=120°
を満たすＰがただ一つ存在し、△ＡＢＣの内部の
点Ｑから３頂点までの距離の和、
ＱＡ＋ＱＢ＋ＱＣ は、Ｐ＝Ｑのとき最小となります
ネットで調べてみてください<(_ _)>
それでは、次回をお楽しみに
ｂｙ ますいしい
下の書籍は、“計算力”を
身につけるのに、お勧めです