2013年 東京大学・理科(前期)
数学 第4問 (解答・解説)
おはようございます。ますいしいです
今朝は快晴 富士山
もくっきりと見えます
まずは、本日第2弾目の偉人の言葉からです
『……代数学を学ぼうと
する者にとっては,一つ
の問題を四つの異なる
方法で解く方が,異なる
三つ四つの問題を解く
よりも,ためになること
がよくある.一つの問題
を別々の方法で解いて
みると,比較によってど
れが簡潔で能率的な方
法であるかを明らかに
することができる.それ
が経験になるのである.』
(W・ソーヤ,イギリスの数学教育学者)
今回の下の問題はいろいろな
解法が考えられます 皆さん
も、いろいろな解法を考え、もし
こんな手法もあるという方がおら
れましたらコメント下さい<(_ _)>
御待ちしております
それでは,最初は解答を見ずにチャレンジしてみてください
(問題)
(※ 時間の目安) (1)5分 (2)20分 (解1)に気づけば、7分
Fermat point
(ますいしいの解答)
(質問の回答)
コメント;いかがでしたでしょうか?楽しんで頂けましたでしょうか?
(1)①の式より、それぞれ単位ベクトルの和がゼロベクトル
ですから、点Pは正三角形の重心・内心・外心・垂心と
なりますから、直ちに∠APB=∠BPC=∠CPA=120°
が、ピンときます
もし、これが、空間に次元を上げれば、点Pは正四面体
の重心ということになります
(2)上のような4通りの解法を考えてみました
(解1)これに気づければ、最速の解法となります
(解2)“余弦定理”から、3元2次方程式を解きます
ここで、面積を利用して上の③を使えば楽に
なります
(解3)上のように円と結びつけます 円に内接する
四角形の対角の和は180°ですから、上のような
二つの円の交点として、点Pを導出できます
(解4)“数Ⅲの複素数平面の回転移動”を使って、
導出する手法です
ここで、α=a+bi ,β=c+di で、
α//β ⇔ ad - bc = 0
α⊥β ⇔ ac + bd = 0 です
(注)上の点Pは“フェルマー点”と呼ばれています。
三角形ABCのすべての内角が120°未満のとき、
△ABCの内部に∠APB=∠BPC=∠CPB=120°
を満たすPがただ一つ存在し、△ABCの内部の
点Qから3頂点までの距離の和、
QA+QB+QC は、P=Qのとき最小となります
ネットで調べてみてください<(_ _)>
それでは、次回をお楽しみに
by ますいしい
下の書籍は、“計算力”を
身につけるのに、お勧めです