２００３年 東北大・理系学部（前期） 数学 第４問
おはようございます，ますいしいです
今日は朝から曇りがち
で午後からは雨
の予報
です。今日は，一日中天気はよくなさそうです
さて，本日の一題は理系入試では頻出の，
回転体の求積問題です
もちろん積分法を使います
たいへん良問だと思います
本日もまずは，偉人の言葉からです
『 知られているように，科学としての物理学は微分法が発見さ
れたときに生まれたといえる．現象間の関係を抽象的な推理に
よって定めようとする試みが，うまくいくようになったのは，物理
学が自然界の出来事の進行を順を追って追究できるようになっ
てからのことであった．そしてそのためには次の二つが必要であ
った．すなわち，1） 利用すべき簡単な基本概念．2） 一定の
時刻と空間内の定点にかかわる簡単かつ基本的な構成法則
から，観測可能な（すなわち実験結果と比較対照できる）最終
的な時間間隔や距離を与える法則をみちびく明確な方法，の
二つである． リーマンによって，示された，上の二つの課題の
うち，前者は物理的な事実や仮説に基づく微分方程式を立てる
ことに帰する．そして後者は，この微分方程式を積分して個々
の具体的な場合にそれを応用することに帰するが，これはすで
に数学の仕事である．』
（Ｈ・ヴェーバー，ドイツの数学者，1842 - 1913）
それでは，初めは解答を見ずに，じっくり考えてみてください
（※ 時間の目安） （１）７分 （２）２０分 
（ますいしいの解答）
コメント；いかがでしたでしょうか？楽しんで頂けましたでしょうか？
（１）点Ｐ，Ｑ 座標設定をみて，すぐにＰは，ｘ-ｙ平面上の ｙ ＝ ｘ 上の点で，
点Ｑは，ｘ-ｚ平面上の ｘ^2 ＋ ｚ^2 ＝ 1 の円周上の点であることを見抜
て欲しいです！ Ｒ（ｕ，0，0） とすると，△ＰＱＲは ∠ＰＲＱ ＝ 90°です
から，図形的に求めるのが最も速く簡単に出来ます！
（２）回転体の体積を求める鉄則は回転軸に対して垂直な断面をまずは，考え
ます。そして，その回転軸から最も離れた点と最も近い点を考えます。
最も離れた点までの距離を半径とする円の面積から，最も近い点までの
距離を半径とする円の面積との差がその断面積ということになります！
あとは，この断面積を積分区間に沿って積分計算を実行すれば求まります！
それでは，次回をお楽しみに
ｂｙ ますいしい
