２０１０年 東京農工大・農，工学部（前期） 数学 第１問
おはようございます，ますいしいです
今日は朝から蒸し暑いですね
もうそろそろ
涼しくなって欲しいですが，まだまだ暑さは続きそうです
各地で集中豪雨なども発生し
ており，今までの尺度では測れない雨量であったりと日本も何か根本的に気候変動に見舞
われている気がします
やはり地球温暖化なのでしょうか
日本も温帯から亜熱
帯へと移行しているのかもしれませんね・・・・
それでは，本日も偉人の言葉からです
『 数学はいつでもどこでも気がつけば先におり，ときどき，生活
から遊離しているだの，抽象的だの，無味乾燥だのと非難嘲笑
を浴びながら，人知のために新しい道を切り開いてきた．』 
（Ｓ・ソボレフ，旧ソ連の数学者，1908 - ）
『 最も古い学問である数学は，同時に，自然科学だけでなく人
間活動の多種多様な分野とも，絶えず結びつきを広げつつ，嵐
のように発展する永久に若い学問である．』 
（Ｍ・Ｖ・ケルディシュ，旧ソ連の数学者，1904 - 1976）
それでは，本日も元気に参ります
（※ 時間の目安） 〔１〕５分 〔２〕５分 〔３〕５分 〔４〕５分 〔５〕７分 
（ますいしいの解答）
コメント；いかがでしたでしょうか？楽しんで頂けましたでしょうか？
（１） 中心（ｘ1，ｙ1，ｚ1），半径 ｒ の球の方程式は，
（ｘ - ｘ1）^2 + （ｙ - ｙ1）^2 + （ｚ - ｚ1）^2 ＝ ｒ^2
です
（２） 点（ｘ1，ｙ1，ｚ1） を通り，方向ベクトル（ｐ，ｑ，ｒ） の
直線の方程式は，
（ｘ，ｙ，ｚ） ＝ （ｘ1，ｙ1，ｚ1） + ｔ （ｐ，ｑ，ｒ） （ｔ は実数）
です
（３） 平面の方程式は，
ａｘ + ｂｙ + ｃｚ + ｄ ＝ 0 （ａ，ｂ，ｃ，ｄ は定数）
さらに，点（ｘ1，ｙ1，ｚ1） から，平面に至る距離は，
| ａｘ1 + ｂｙ1 + ｃｚ1 + ｄ | / √（ａ^2 + ｂ^2 + ｃ^2）
です
なお，ベクトル （ａ，ｂ，ｃ） は，法線ベクトルと言い
平面に垂直なベクトルです
また，ベクトル→ｘ＝（ｘ1，ｙ1，ｚ1），→ｙ＝（ｘ2，ｙ2，ｚ1） の
双方に垂直なベクトルは外積といい，
→ｘ × →ｙ ＝ （ｙ1ｚ2 - ｚ1ｙ2，ｚ1ｘ2 - ｘ1ｚ2，ｘ1ｙ2 - ｙ1ｘ2）
です （注；高校の教科書には載っていません）
なお，ベクトルの内積はスカラー（ｓｃａｌａｒ）ですが，
外積はベクトル（ｖｅｃｔｏｒ）です
平面の法線ベクトルを求める際に大変に便利です
（４） 球の方程式は，標準形，一般形の二通りがあり，
（１）は，標準形と言います
そして，一般形は，ａ，ｂ，ｃ，ｄ を定数として，
ｘ^2 + ｙ^2 + ｚ^2 + ａｘ + ｂｙ + ｃｚ + ｄ ＝ 0
です
(注；問題によって上の二つを使い分けるのが良いでしょう
）
（５） すべての三角形に内接円，外接円が存在するのと同様に，
すべての四面体には内接球，外接球が存在します
それは図形の方程式の未知数の個数から明らかです
それでは，次回をお楽しみに
ｂｙ ますいしい
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