２０１２年 法政大 （２/１２） 数学 〔１〕
※ 三角関数を使わずに，徹底的に初等幾何で解いてみます！
どうぞ御覧ください！
（解） まず，Ａ から直線 ＢＣ に，直線 ＢＡ の延長上に Ｃ から垂線を下し，その足をそれぞれ
Ｈ，Ｉ とする。また，ΔＡＢＣ，ΔＡＢＰ の外接円の中心をそれぞれ Ｏ，Ｏ´ とする．
(１) ∠ＡＣＨ ＝ 180°- 105°- 30°＝ 45°より，
ΔＡＣＨ は１：１：√2 の直角二等辺三角形，ΔＡＢＨ は２：１：√3の直角三角形．
ＡＣ＝2√2 より，ＡＨ＝ＣＨ＝ＡＣ/√2＝２，ＢＨ＝√3・ＡＨ＝2√3，
したがって，ｓｉｎ105°＝ ｓｉｎ(180°- 75°) ＝ ｓｉｎ75°＝ ＣＩ/ＣＡ ＝ 1/2・ＢＣ/ＣＡ
＝ 1/2・( 2 + 2√3 ) / 2√2 ＝ ( √2 ＋ √6 ) / 4 ・・・（答）
(２) 円周角と中心角の関係より，∠ＡＯＣ ＝ 2∠ＡＢＣ ＝ 60°だから，
ΔＡＯＣ は正三角形となるから，外接円の半径 ＝ ＡＣ ＝ 2√2 ・・・（答）
また， ＢＣ ＝ 2 ＋ 2√3 ・・・（答）
(３) (２) と同様に，ΔＡＯ´Ｐ は正三角形となるから ＡＰ ＝ 3 ( 円Ｏ´の半径) ，
ΔＡＨＰ で三平方の定理より，ＨＰ = √( AP^2 - AH^2 ) = √( 9 - 4 ) = √5，
したがって， ＰＣ ＝ ＣＨ ＋ ＨＰ ＝ 2 ＋ √5 ・・・（答）
ｂｙ ますいしい