２０１２年 早稲田・政経・数学 第３問
ベクトルと軌跡！
問 ３ ｘ-ｙ 平面上に 3 点O(0，0)，A(1/√2，0)，B(0，1/√2)，
をとり，図のように，△OABの各辺上または内部に，DE∥OB
かつ∠DCE を直角とする二等辺三角形CDE をとる。ただし，
（１），（２），（５） は答のみ解答欄に記入せよ。
（１） ｍ の最大値を求めよ。
（２） ｓ，ｔ を正数とし，ベクトル→OC + ｓ→CD + ｔ→CE を
【(ア)】→OA + 【(イ)】→OB と表すとき，空欄【(ア)】，【(イ)】
をそれぞれ ｓ，ｔ および m の式で表せ。
（３） 等式→OC + ｓ→CD + ｔ→CE = ｓ→OA + ｔ→OB を
みたす ｓ，ｔ をそれぞれ ｍ の式で表せ。
（４） 前問 （３） で求めた ｓ，ｔ を用いて，点 P (ｘ，ｙ) を
→OP = ｓ→OA + ｔ→OB によって定める。このとき，y/ｘ を
1/ｍ の式で表せ。
（５） 前問 （４） における点 P (ｘ，ｙ) の軌跡は ｘ，ｙ の方程式
( ｘ + 【(ウ)】 )^2 + ( ｙ + 【(エ)】 )^2 ＝ 【(オ)】
で表される。このとき，空欄【(ウ)】，【(エ)】，【(オ)】にあてはまる
数値を求めよ。
(解) (１) ｍ が最大となるのは△CDE が△OAB に内接するときで，
45°，45°，90°の直角二等辺三角形の辺の比，1：1：√2 を利用
すると，点D が OA 上にあるときが最大で線分 OA を ｍ で表すと，
OA = OD + DA = CE/√2 + ED だから，
∴ ｍ/√2 + √2・ｍ = 1/√2 で，この両辺に√2 を掛けると，
ｍ + 2ｍ = 1 ⇔ ｍ ＝ １/３ ・・・ （答）
(２) OC = OB - BC = 1/√2 - √2・ｍ より，
→OC = OC/OB・→OB = (1/√2 - √2・ｍ)/(1/√2) = (1 - 2ｍ)→OB，
→CD = CD/BA・→BA = ｍ(→OA - →OB)，
ここで，AB の中点を M とすると，
→CE = CE/OM・→CE = ｍ/(1/2)・(→OA + →OB)/2
= ｍ(→OA + →OB)，
∴→OC + ｓ→CD + ｔ→CE
= (1 - 2ｍ)→OB + ｍｓ(→OA - →OB) + ｍｔ (→OA + →OB)
= ｍ(ｓ + ｔ )→OA + (1 - 2ｍ - ｍｓ + ｍｔ )→OB ・・・ （答）
(３) (２)より，ｍ(ｓ + ｔ ) = ｓ ⇔ (ｍ - 1)ｓ + ｍｔ = 0 ・・・①
1 - 2ｍ - ｍｓ + ｍｔ = ｔ ⇔ -ｍｓ + (ｍ - 1)ｔ = 2ｍ - 1 ・・・②
ここで，①×(ｍ - 1) - ②×ｍ をつくると，
{ (ｍ - 1)^2 + ｍ^2 } ｓ = ｍ(2ｍ-1)
∴ ｓ = ｍ ( 1 - 2ｍ ) / ( 2ｍ^2 - 2ｍ + 1 ) ・・・（答）
①より，ｔ = ( 1 - ｍ ) ( 1 - 2ｍ ) / ( 2ｍ^2 - 2ｍ + 1 ) ・・・（答）
(４) →OP = ｓ→OA + ｔ→OB
⇔ (ｘ，ｙ) = ｓ(1/√2，0) + ｔ (0，1/√2) =(ｓ/√2， ｔ /√2)
したがって，(３) より，
ｙ/ｘ = ｔ /ｓ = (1 - ｍ)/ｍ = 1/ｍ - 1 ・・・ （答）
(５) (３)，(４)より，ｘ = ｓ /√2 ⇔ √2ｘ = ｓ ，1/ｍ = ｙ/ｘ + 1，
∴ √2ｘ = ｍ ( 1 - 2ｍ ) / ( 2ｍ^2 - 2ｍ + 1 )
⇔ √2ｘ = ( 1/ｍ - 2 ) / ( 2 - 2/ｍ + 1/ｍ^2 )
⇔ √2ｘ = {( ｙ/ｘ + 1) - 2｝/{ 2 - 2(ｙ/ｘ + 1) + (ｙ/ｘ + 1)^2 }
⇔ √2ｘ = {( ｙ - ｘ )/ｘ ｝/ ( ｙ^2/ｘ^2 + 1)
⇔ √2ｘ = ( ｙ - ｘ ) ｘ / ( ｙ^2 + ｘ^2 )
⇔ √2 ( ｙ^2 + ｘ^2 ) = ｙ - ｘ
⇔ ｘ^2 + ｙ^2 + √2/2・ ｘ - √2/2・ ｙ = 0
⇔ ( ｘ + √2/4 )^2 + ( ｙ - √2/4 )^2 = 1/4 ・・・ （答）
（注）； Ｔ進の評価は，やや難 です。
ｂｙ ますいしい