広島学院平成14(2002)過去問その2の1_算数の解説

広島学院H14(2002)過去問

その2の1_算数の解説

平面図形の基礎的な問題です。

これは「面積と辺の比」といった単元ですが、小6の春の最初に塾で習うことが多いようです。

【問題】

右の図で、ADとDBの長さの比は2：1、AFとFCの長さの比は1：2、三角形DBEと三角形FECの面積の比は3：4です。次の問いに答えなさい。
(1)
BEとECの長さの比を簡単な整数の比で表しなさい。
(2)三角形ABCの面積が90cm²のとき、四角形ADEFの面積を求めなさい。

【解き方と解答】

(1)「三角形の底辺BCから頂点Aまでの高さ」「三角形の底辺BEから頂点Dまでの高さ」「三角形の底辺ECから頂点Fまでの高さ」
をじっくり整理してから取り組みましょう。
まず、底辺BCからAまでの高さですが、左側のABで考えると、AD+BC=2+1=[3]、右側のACで考えると、AF＋FC=1+2=[3]となります。
両方とも[3]で同じなので、底辺BCから頂点Aまでの高さ=[3]cmとして考えましょう。

すると、「底辺BEから頂点Dまでの高さ」は[3]×1/3=[1]cmとなります。
また、「底辺ECから頂点Fまでの高さ」は[3]×2/3=[2]cmとなります。

ここで、三角形DBEと三角形FECの関係について、面積比が3：4ですから、
辺BE×[1]÷2=<3>、辺EC×[2]÷2=<4>ということがわかります。
辺BEは3×2=6、辺ECは4×2÷2=4となり、
BE：EC=6：4=3：2となります。

A．3：2

(2)りん辺比の考え方を使うと楽にできると思います。

りん辺比とは、各辺の長さを<<1>>とおいて、それを分割していき、隣り合う辺(=隣辺)同士の掛け算の積が面積の割合になるというものです。

まず、辺AB=1、辺BC=1、辺CA=1となります。
辺AD=2/3、辺DB=1/3。
辺BE=3/5、辺EC=2/5。
辺CF=2/3、辺FA=1/3。となります。

三角形DBE=DB×BE=(1/3)×(3/5)=1/5となります。
三角形FEC=EC×CF=(2/5)×(2/3)=4/15です。
ここで補助線をDからFに引いて、三角形ADFを作りましょう。
三角形ADF=AD×FA=(2/3)×(1/3)=2/9です。

残った真ん中の三角形DEF=1-(1/5)-(4/15)-(2/9)=14/45となります。

四角形ADEFは三角形ADF+三角形DEFですから、
(2/9)+(14/45)=24/45=8/15となります。

全体を1としたときの、8/15ですから、
90cm²×8/15=48cm²

A．48cm²