前回の記事の続きです。
オイラーの公式
の解釈をしていこうと思う。
この式は
左辺が
i（虚数単位）とθ（角度とか偏角とか言われる）の積の数だけe（ネイピア数）をかけたもの
右辺が
コサインの引数をθにしたものと、iとサインの引数をθにしたものを足し合わせたもの
となっている。
つまり、「i（虚数単位）とθ（角度とか偏角とか言われる）の積の数だけe（ネイピア数）をかけたもの」と「コサイ ンの引数をθにしたものと、iとサインの引数をθにしたものを足し合わせたもの」が等価であるということを意味してい る。
やはり、左辺については具体的な意味がよくわからないが、
右辺は三角関数で表される複素数であるということを意味しているというのが分かる。
左辺についての具体的な解釈は難しいので、なんだか「よく分からないもの」ものとして受け入れてしまおうと思う。 そこで、とりあえずこういう解釈ができるだろう。
「オイラーの公式はeを底とする指数関数の世界と三角関数の世界の橋渡しをしている式である」
とか、もう少し具体的に
「オイラーの公式は二つの三角関数の和を、一つの指数関数に変換できる式である」
つまり、オイラーの公式を使えばeを底とする指数関数の世界の話や問題を、三角関数の世界の話や問題として議論で きるということになる。問題を読み替えることができるということだ。
それができると何が嬉しいかというと、例えば、次の問題があったとする。
「
この場合、生真面目に展開公式を使って計算するなんてことをやっていたらとんでもない時間がかかってしまう。
そこで、もう少し速く簡単にできる計算方法ないだろうかと考える。
今回の場合はそのやり方があって、上で挙げたオイラーの公式を使うというやり方だ。
という関係が導ける。この関係から、さっきの問題を解くときに膨大な時間を使って展開していく必要はなく、それぞ れの三角関数の引数を1024倍するだけでよい、ということが分かる。
そのため、
と、かなり早く簡単に解くことができた。これがオイラーの公式の威力だ。