解答第1弾！！

遅くなってしまいましたが，代打　代表でupした今年の東大文科系 第1問の解答をupします．

この問題は慶応大学商学部でも出たということで，
今年はこの問題が全国的に出題されるようです．
頑張って復習しましょう．



まずは問題から．



この問題は，絶対値の入った積分計算に無理数の評価をからめた，
比較的筋道の分かりやすい問題です．
しかし，その途中途中で様々な小ネタが含まれていて，
意外と奥の深い問題です．
これから順に見ていきましょう．



まずは1.から．

これはaが絶対値に含まれるかどうかで場合分けするという，
東大受験生ならば是非出来ておきたい問題です．
場合分けがしっかり出来れば問題ないでしょう．



続いて2.です．

2.も，まずは場合分けからです．




そして，この問題の一番のポイントは，真ん中の項目の途中で行っている無理数の値の大小の評価です．
結構，評価を行わずに適当に大小を決めてしまいがちですが，
それでもし答えが合っていたとしても大幅な減点は免れません．
値の大小の評価自体は，平方根を含む数の評価なので，
2乗を繰り返していけばできます．
が，2つの値の差は極めてわずかなので，厳密な評価が必要です．

次に，上で行った評価をもとに増減表を書きます．


ここでのポイントは，上で評価を行ったような複雑な値をaに代入しないといけないときの計算方法です．
これを愚直に3次式に代入したりすると計算が大変なことになり，
時間がかかるだけでなく，計算ミスのもとです．
ここでは，y'=0などの，これまでに分かっている条件をもとに，
整式の割り算をして次数下げを行うことで計算量を減らしました．
このような手法で時間を節約することが合格につながります．
しっかり復習しましょう．

そして最後にグラフです．
値の評価に部分が微妙なので，その部分の差を強調したグラフを書きます．


ちなみに正確な図を描くと下のようになります．





以上です．いかがだったでしょうか？

次回は文科系第2問，理科系第1問の理文共通問題の解答です．
解答者：丹野

あと1週間ないんだよね・・・

東大予想問題理科系第2問を公開します．


2009年度 東大理科系 第2問


作問者：福永
出題分野：確率・数列
配点：1 10点,2 10点
コメント：理科系用には期待値をつけてみました．出題者の意図は通じているでしょうか？
ヒント：3変数の連立漸化式はまず高校生では解けません．知っている形の2変数の連立漸化式に帰着させましょう！2変数連立漸化式は過去問でもかなり出ているので，ノーヒントでも解ける必要があると思います．

あと残り日数が少ないので・・・

東大予想問題文科系第4問を公開します．


2009年度 東大文科系 第4問



作問者：福永
出題分野：確率・数列
配点：1 10点,2 10点
コメント：今年は確率漸化式です．出なかったら腹を切ります．もちろんウソです．しっかりn番目とn+1番目の状況を把握しましょう．なお，一般項を求めるのはかなり難儀になります．誘導をもう少しつけるべきかも知れませんが，本試験で同じ状況に陥った場合を想定して，各自研究してくれればと思います．
ヒント：3変数の連立漸化式はまず高校生では解けません．知っている形の2変数の連立漸化式に帰着させましょう！2変数連立漸化式は過去問でもかなり出ているので，ノーヒントでも解ける必要があると思います．