解答・文系第2問，理系第1問
解答の第2弾，東大文系第2問，東大理系第1問の分をお送りします．
まずは問題から．
文系はこんな問題で，
理系はこんな問題でした．
ですが，理系の2.に問題の差し替えがあります．
理系の2.の問題は，
(x^2+2y^2)/(x^2+y^2)の，yをaに固定したときの最小値をaを用いて表せ．
です．誠に申し訳ありませんでした．
では，気を取り直して，文系の問題の解答からです．
まずは点Pの動く範囲 = △ABCの形状を調べることになりますが，
まずはその準備からです．
問題のページでも2004年の理文共通問題を参照しましょうと書きましたが，
共通するポイントは直線の傾きに注目することです．
そして，さりげなく書かれている最後の1行がこの問題のポイントです．
この「x軸との成す角の正接(tan)」を多用して，実際に△ABCの形状を決定していきます．
このように2種類の三角形ABCが得られます．
ちなみに，さりげなく「tan15°=2-√3」などと書いていますが，
この値は，
sin15°=(√6-√2)/4, cos15°=(√6+√2)/4
とともに，よく出る値なので，覚えておくといいことがあります．
そして，ここまでの下準備がこの問題のメインです．
あとは，「√(x^2+y^2)」「y/x」の図形的な意味を考えながら，
グラフをよく見比べて解答するだけです．
最小値に関しては，実際に√(x^2+y^2)の値を求めるのは一筋縄にはいきませんが，
y/xの図形的意味を考えれば最小値を実現するy/xは比較的容易に求まるのです．
そして，1.は，「2.でy/x = 直線の傾きに注意しましょう」というヒントになっています．
次は理系の問題ですが，
1.は文系の2.と同じでした．
y/x = 直線の傾きに気づけたでしょうか？
2.については工事中です．
しばしお待ちください．
まずは問題から．
文系はこんな問題で，
理系はこんな問題でした．
ですが，理系の2.に問題の差し替えがあります．
理系の2.の問題は，
(x^2+2y^2)/(x^2+y^2)の，yをaに固定したときの最小値をaを用いて表せ．
です．誠に申し訳ありませんでした．
では，気を取り直して，文系の問題の解答からです．
まずは点Pの動く範囲 = △ABCの形状を調べることになりますが，
まずはその準備からです．
問題のページでも2004年の理文共通問題を参照しましょうと書きましたが，
共通するポイントは直線の傾きに注目することです．
そして，さりげなく書かれている最後の1行がこの問題のポイントです．
この「x軸との成す角の正接(tan)」を多用して，実際に△ABCの形状を決定していきます．
このように2種類の三角形ABCが得られます．
ちなみに，さりげなく「tan15°=2-√3」などと書いていますが，
この値は，
sin15°=(√6-√2)/4, cos15°=(√6+√2)/4
とともに，よく出る値なので，覚えておくといいことがあります．
そして，ここまでの下準備がこの問題のメインです．
あとは，「√(x^2+y^2)」「y/x」の図形的な意味を考えながら，
グラフをよく見比べて解答するだけです．
最小値に関しては，実際に√(x^2+y^2)の値を求めるのは一筋縄にはいきませんが，
y/xの図形的意味を考えれば最小値を実現するy/xは比較的容易に求まるのです．
そして，1.は，「2.でy/x = 直線の傾きに注意しましょう」というヒントになっています．
次は理系の問題ですが，
1.は文系の2.と同じでした．
y/x = 直線の傾きに気づけたでしょうか？
2.については工事中です．
しばしお待ちください．
ついに理科系用の問題に突入！
東大予想問題理科系第4問を公開します．
2009年度 東大理科系 第4問
作問者：福永
出題分野：行列
配点：1 3点,2 2点,3 5点,4 10点
コメント：「今年は行列かつn乗がらみだ！」という声をある先生から聞きました．オレもなんかそんな気がしてしまいました．だからと言って,ただn乗を求めさせるのは,他の大学でもかなり出題されているので一工夫してみました．1から3までは高校や予備校のアドバンスな授業で扱っているはずなので,サービスです．(じゃないと予想問題で点数取れる箇所が少なくなってしまう・・・)要するに,4ができるかどうかを出題者は聞きたいわけですよ．ちなみに,この問題にはもちろんちゃんと背景があります．また3×3の場合で，東京大学大学院の工学部の入試問題で過去に出ています．とはいってもこの問題は,高校生用にヒントを付けまくっているので,専門知識は必要ないはずです．
ヒント：「分母と分子がどのような行列の積でかけるか」が最大のポイントですかね？「対角化」の利点に気付けば,きっと感動が得られるはずです！
2009年度 東大理科系 第4問
作問者：福永
出題分野：行列
配点：1 3点,2 2点,3 5点,4 10点
コメント：「今年は行列かつn乗がらみだ！」という声をある先生から聞きました．オレもなんかそんな気がしてしまいました．だからと言って,ただn乗を求めさせるのは,他の大学でもかなり出題されているので一工夫してみました．1から3までは高校や予備校のアドバンスな授業で扱っているはずなので,サービスです．(じゃないと予想問題で点数取れる箇所が少なくなってしまう・・・)要するに,4ができるかどうかを出題者は聞きたいわけですよ．ちなみに,この問題にはもちろんちゃんと背景があります．また3×3の場合で，東京大学大学院の工学部の入試問題で過去に出ています．とはいってもこの問題は,高校生用にヒントを付けまくっているので,専門知識は必要ないはずです．
ヒント：「分母と分子がどのような行列の積でかけるか」が最大のポイントですかね？「対角化」の利点に気付けば,きっと感動が得られるはずです！
ウソをついてしまいました・・・
的中は慶應商でなく慶應経済でした．
関係者各位ご迷惑をおかけしました．
今日中に理科系第4問をアップしたいと思います．加えて以前アップした問題の解答ものっける予定です．
どうぞお見逃しなく．
関係者各位ご迷惑をおかけしました．
今日中に理科系第4問をアップしたいと思います．加えて以前アップした問題の解答ものっける予定です．
どうぞお見逃しなく．