【㉖Σｋの公式①】
【㉖Σｋの公式①】区分求積法で面積を求めている。そんなとき、和の計算でΣの公式が必要になる。そこで、今回はΣの公式について考えよう。あなたはΣｋの８乗の公式が導けるか。このブログではそういった問題を扱う。数学的思考でより本質的な問題を扱う。Σの公式の使い方ではない。あのChatGPTですらわからない。ただ、ヒントを与えたらたちどころに解いた。さすが知識抜群の超優等生。我々は考え方（思考力）をいかに身につけるか。知識だけではない思考力。これは高いレベルの目標である。今後の教育の大目標だと思う。Σの公式を導く。発想はとても簡単だ。積分の区分積分法はΣ公式を使う。逆にΣ公式は積分公式から導く。それだけである。最初に教科書の解法を復習しよう。Σｋの公式から求めよう。和の計算は階差の公式を使う。1① はｋとｋ－１という１の差のある式の差。これを階差の式という。この階差の式を上のようにすべて加える。そうすると途中が打ち消しあって最初と最後が残る。これが和の計算の原理だ。とてもシンプルであるが応用のある原理だ。同様に階差の２乗の公式を求めてみよう。階差の指数を３にすればよい。2 このようにして順にSを求めることができる。Σの3乗、Σの４乗の計算を行ってほしい。式の特色に気が付くであろう。 式をみて気が付くこと。Sはいつもnを因数に持つ。いいかえれば、Ｓ（0）=0となる。理由は③式からわかると思う。（実はS（－１）＝０にもなる）実際に計算してみると見えてくることが多い。階差の式の工夫はできないか。いつも同じ階差の式ではないのだ。階差式④を見てほしい。3このように求めることができる。Σの2乗の公式も同様にして求めてほしい。これからの目標はシグマ8乗の式は導けるか。いままでの方法だと膨大な式になりそうだ。実際にやってみるとよい。少し工夫がしたい。いつも計算を頑張るだけではない。工夫やアイデアが数学には大切だ。ここが知識だけではできない思考だ。それが積分利用の方法だ。ポイントは階差の公式と積分の利用。次回、具体的に考えてみよう。
