正n角形を作図出来るか否か -正十九角形その2-
『正n角形を作図出来るか否か -正十九角形-』前回からの続き。正十九角形は、定規とコンパスによる作図は出来ないが、折り紙による作図は出来る。正19角形は9次方程式の解を必要とする。まずは、9次方程式…ameblo.jp正十九角形は、定規とコンパスによる作図は出来ないが、折り紙による作図は可能である。x＝2cos(2π/19)とおくと、x9＋x8－8x7－7x6＋21x5＋15x4－20x3－10x2＋5x＋1＝0 … (1)これが、正19角形を折り紙で折るために必要な9次方程式である。α、β、γを解に持つ3次方程式ay3＋by2＋cy＋d＝0の係数が解ったので、カルダノの解法でやってみよう。とはいっても、面倒なので、Excelを使ってみる。y3＋y2－6y－7＝0の解をα＞β＞γとするとき、x3－βx2－(α＋1)x－(α＋2)＝0の解をδ＞ε＞ζとすると、δ＝2cos(2π/19)になるというのだ。どういう計算でここにたどり着くんだろうね。カルダノの解法をかなり端折る。ay3＋by2＋cy＋d＝0より、 p＝ －b2＋3ac 3a2 q＝ 2b3－9abc＋27a2d 27a3 ω0＝1＋0i ω1＝－ 1 2 － √3i 2 ω2＝－ 1 2 ＋ √3i 2 として、 α＝ ω0 ⎛ ⎝ － 9q 18 ＋ √81q2＋12p3 18 ⎞ ⎠ 1/3 ＋ ω0 ⎛ ⎝ － 9q 18 － √81q2＋12p3 18 ⎞ ⎠ 1/3 － b 3a β＝ ω1 ⎛ ⎝ － 9q 18 ＋ √81q2＋12p3 18 ⎞ ⎠ 1/3 ＋ ω2 ⎛ ⎝ － 9q 18 － √81q2＋12p3 18 ⎞ ⎠ 1/3 － b 3a γ＝ ω2 ⎛ ⎝ － 9q 18 ＋ √81q2＋12p3 18 ⎞ ⎠ 1/3 ＋ ω1 ⎛ ⎝ － 9q 18 － √81q2＋12p3 18 ⎞ ⎠ 1/3 － b 3a と求めることができる。実部と虚部を分けているが、分母は等しくしておいた。これらをExcelで計算させてみる。A列は変数名、B列が値としてます。A1セルにa、A2セルにb、A3セルにc、A4セルにdB1セルに1、B2セルに1、B3セルに-6、C4セルに-7をいれる。A6セルにp、A8セルにqB6セルに、=-1*B2^2+3*B1*B3B7セルに、=3*B1^2B8セルに、=2*B2^3-9*B1*B2*B3+27*B1^2*B4B9セルに、=27*B1^3B6が-19、B7が3、B8が-133、B9が27になっていれば、ここまでは正しく入力出来ています。A11セルにω^0、A12セルにω^1、A13セルにω^2B11セルに、=COMPLEX(1,0)B12セルに、=COMPLEX(-1/2,-SQRT(3)/2)B13セルに、=COMPLEX(-1/2,+SQRT(3)/2)B11が1B12が-0.5-0.866025403784439iB13が-0.5+0.866025403784439iになっていれば、ここまでは正しく入力出来ています。B15セルに、=IMPOWER(IMDIV(IMSUM(-9*B8/B9,IMSQRT(81*(B8/B9)^2+12*(B6/B7)^3)),18),1/3)B16セルに、=IMPOWER(IMDIV(IMSUB(-9*B8/B9,IMSQRT(81*(B8/B9)^2+12*(B6/B7)^3)),18),1/3)B17セルに、=IMPRODUCT(B12,B15)B18セルに、=IMPRODUCT(B13,B16)B19セルに、=IMPRODUCT(B13,B15)B20セルに、=IMPRODUCT(B12,B16)B17セルから、B20セルまで、1.42017598871315+0.306938547911019i1.42017598871315-0.306938547911019i-0.444271414464925-1.38337775802578i-0.444271414464925+1.38337775802578i-0.975904574248225+1.07643921011476i-0.975904574248225-1.07643921011476iのように、実部が同じで、虚部の符号が違うようになっていれば、おそらくここまでは正しく入力が進んでいるだろう。A22セルにα、A23セルにβ、A24セルにγB22セルに、=IMSUM(B15,B16)-B2/(3*B1)B23セルに、=IMSUM(B17,B18)-B2/(3*B1)B24セルに、=IMSUM(B19,B20)-B2/(3*B1)B22からB24が、2.50701864409297-1.22187616226318-2.28514248182978な値になっていれば、正しく入力が出来ている。以降、B列に小数が表示さえるので、必要に応じて、書式→セルの書式設定→数値→小数点以下の桁数で14などを設定することで、表示桁を増やしてください。A26セルにa、A27セルにb、A28セルにc、A29セルにdB26セルに、1B27セルに、=-B23B28セルに、=-(B22+1)B29セルに、=-(B22+2)A6セルからB24セルまでをコピーして、A31セルでペースト。B47からB49までが、1.89163448340127-1.35456314325150-1.75894750241296となっていれば、成功。A51セルに2cos(2π/19)B51セルに、=2*COS(2*PI()/19)B51セルと、B47セルが等しい。一連の値を、画像で貼っておく。Excelで複素数を扱えることを知ってました？ではではa img { background-color: lightgray;}table.renbun td { border: 0px; 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