長方形に内接する3つの正三角形
図形問題を出題するよ。図のように長方形ABCDがあり、3つの正三角形が内接している。正三角形DQRの面積が1のとき、長方形ABCDの面積を求めよ。中学受験を考えている小学4年生以上向けです。シンキングタ～イムさて、どこから手を付けましょうか。まず、3つの正三角形の辺で囲まれた三角形PQRに着目します。∠QPRは、∠QPR＝180˚－2×60˚＝60˚∠QRP＝θとおくと、∠DRCは、∠DRC＝360˚－2×60˚－θ＝240˚－θまた、∠RCDは、∠RCD＝90˚－60˚＝30˚残りの、∠RDCは、∠RDC＝180˚－(240˚－θ)－30˚＝θ－90˚∠ADQ＝90－60˚－(θ－90˚）＝120˚－θ∠PQR＝180˚－60˚－θ＝120˚－θとなり、∠ADQ＝∠PQRであることが解ります。赤い正三角形の辺の長さをDからAD上の点Sを取ることで、二辺夾角より、⊿QPR≡⊿DSQであることが解ります。∠DST＝60˚なので、図のように緑の正三角形を配置出来る。それに伴って、対称性から、更に、SUを結ぶと、対称性が良く解ることだろう。ここで、、∠PQR＝∠BQUであることは、Qを軸に正三角形の内角60˚から解る。よって、赤い正三角形は緑の正三角形9個分であり、正三角形TBCの緑の正三角形16個分に対して、内接する青い正三角形QURは、16－3×3＝7個分ということが解ります。長方形の面積は、緑の正三角形16個分の倍の32個分ですので、答え 32/7なんか、最近、こんな解法ばかりを使っているように思うが、気の所為だろうか。小学生の知識で解けたわけなので、中学生は？と考えてみるが、無理数を知ってしまうからか、青い正三角形の面積1から、辺の長さを求めたり出来るのだが、そこからが手詰まりになりそうではある。また、高校生であれば、三角関数が使えるようになるので、余弦定理などを活用して、連立方程式で解けたりすることだろうが、結構な遠回りなような気もする。ではではa img { background-color: lightgray;}table.renbun td { border: 0px; padding: 2px 2px 2px 2px; vertical-align: middle; white-space: nowrap; }table.renbun td.ul { border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 0px; }table.renbun td.ol { border-style: solid; border-width: 1px 0px 0px 0px; }table.ans td:nth-child(1) { text-align: center; }table.ans td div { width: 265px; overflow-x: scroll; }table.ans td div span { white-space: nowrap; }table.test td {white-space: nowrap;padding: 0 5px;text-align: right;} .u {border-bottom-style: solid;border-bottom-width: 1px;text-align: center;}table#list td { padding: 0 2px; font-family: monospace; }.no { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle;}.ni { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle; line-height:100%;}.ns { font-family:serif; font-size:250%; line-height:100%;}.io { display:inline-block; white-space:nowrap;}.io sub { vertical-align:bottom; white-space:nowrap;}.io sup { vertical-align:top; white-space:nowrap;}.ii { display:inline-block; vertical-align:middle;}.is { vertical-align:middle; font-family:arial;// font-family: sans-serif; font-size:300%; line-height:70%; font-weight: 5;// margin: 0 -15px 0 -10px;}.ii2{ display:inline-block; line-height:100%; vertical-align:middle;}.is2{ line-height:155%;// line-height:109%; font-family:sans-serif;}.mo { display:inline-block; vertical-align:middle;}.mi { display:inline-block; white-space:nowrap; vertical-align:middle; line-height:100%;}html:not([lang]) .mp { display:inline-block; line-height:100%; font-size:120%; font-family:sans-serif; margin: 0; padding: 0;}.mp{ display:inline-block; line-height:100%; font-size:120%; font-family:serif; margin: 0; padding: 0;}.md{ display:inline-block; line-height:120%; text-align:right; margin: 0 5px;}.lo { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle;}.li { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle; line-height:100%; margin: 0 5px 0 0;}.ls { font-family:serif; font-size:120%; line-height:100%;}.fb {border-style:solid;border-width:1px 0 0 0;margin:1px 0;}.fo {display:inline-block;text-align:center;vertical-align:middle;white-space: nowrap;}.fo span {margin: 0 3px;}.fo span span {margin: 0 0;}.article table {white-space: nowrap;}.ro{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:100%;position:static;}.rt{font-family: 'Meiryo', 'YuGothic', 'Gothic', sans-serif;}.ri{display:inherit;border-style:solid;border-width:1px 0 0 0;padding:0 1px 0 1px;margin:1px 0 0 0;position:relative; left:-1.5px;}article table {margin-bottom: 0 !important;}article table td {white-space: nowrap;text-align: center;}
