図形問題を出題するよ。
図のように長方形ABCDがあり、
3つの正三角形が内接している。
正三角形DQRの面積が1のとき、
長方形ABCDの面積を求めよ。
中学受験を考えている小学4年生以上向けです。
シンキングタ～イム
さて、どこから手を付けましょうか。
まず、3つの正三角形の辺で囲まれた三角形PQRに着目します。
∠QPRは、
∠QPR＝180˚－2×60˚＝60˚
∠QRP＝θとおくと、∠DRCは、
∠DRC＝360˚－2×60˚－θ＝240˚－θ
また、∠RCDは、
∠RCD＝90˚－60˚＝30˚
残りの、∠RDCは、
∠RDC＝180˚－(240˚－θ)－30˚＝θ－90˚
∠ADQ＝90－60˚－(θ－90˚）＝120˚－θ
∠PQR＝180˚－60˚－θ＝120˚－θ
となり、
∠ADQ＝∠PQRであることが解ります。
赤い正三角形の辺の長さをDからAD上の点Sを取ることで、
二辺夾角より、
⊿QPR≡⊿DSQ
であることが解ります。
∠DST＝60˚なので、図のように緑の正三角形を配置出来る。
それに伴って、対称性から、
更に、SUを結ぶと、
対称性が良く解ることだろう。
ここで、、
∠PQR＝∠BQU
であることは、Qを軸に正三角形の内角60˚から解る。
よって、
赤い正三角形は緑の正三角形9個分であり、
正三角形TBCの緑の正三角形16個分に対して、
内接する青い正三角形QURは、
16－3×3＝7個分ということが解ります。
長方形の面積は、緑の正三角形16個分の倍の32個分ですので、
答え 32/7
なんか、最近、こんな解法ばかりを使っているように思うが、気の所為だろうか。
小学生の知識で解けたわけなので、中学生は？と考えてみるが、無理数を知ってしまうからか、青い正三角形の面積1から、辺の長さを求めたり出来るのだが、そこからが手詰まりになりそうではある。
また、高校生であれば、三角関数が使えるようになるので、余弦定理などを活用して、連立方程式で解けたりすることだろうが、結構な遠回りなような気もする。
ではでは