凸五角形のみの平面充填に物申す
まだ、平面充填の熱は冷めていないようだ。凸五角形のみの平面充填は、現在タイプ1からタイプ15までに分類されている。https://en.wikipedia.org/wiki/Pentagonal_tilingまだ、日本語バージョンが存在していないので、英語バージョンのウィキペディアを参照されたし。そこで、思うところ合って、かなり特殊というかユニークな凸五角形を思いついて、昨日と同様、Javascriptでhtmlのcanvasに描いてみました。まず、今までの私の頭の中で、数学的な美しさを求めての平面充填の世界を考えていた。『辺の長さが等しい正多角形による平面充填』ちょっと暇つぶしに、辺の長さが等しい正多角形による平面充填の画像を描くプログラミングをしてみた。平面充填とは、簡単に言えば、平面を充填するって当たり前か。充填…ameblo.jp(1) 1つの正多角形のみでの平面充填は、正三角形、正方形、正六角形の3種類しかなく、これら以外の正多角形のみでは平面充填が出来ない。(2) 複数の正多角形を使っての平面充填は、(1)の3種類に加えて、正八角形、正十二角形の2種類を加えた5種類のうちのいくつかを使って平面充填出来るものがある。『数学界の超難易度ジグソーパズル？』午後のひとときに、今話題の平面充填について、解る範囲で書いていく。出来るだけ理解しやすい言葉で進めていくよ。平面充填ってのは、平面を決められた図形で隙間なく敷…ameblo.jp(3) (1)、(2)は周期性のある配置であったが、ハットやスペクターというすべての辺の長さが等しい凹多角形によって、周期性のない平面充填の存在を知った。『正五角形だけでは平面充填出来ないのだが…』午後のひとときに、平面充填について書いてみる。平面充填について、いろいろと過去に書いた記事。『辺の長さが等しい正多角形による平面充填』ちょっと暇つぶしに、辺…ameblo.jp(4) 正五角形の隣り合う二辺をへこませた凹五角形であれば、平面充填出来る。『正五角形と正六角形を使って平面充填』自分は一瞬でもみた幾何学模様を覚えていたりする。本当にチラ見だったと思うが、それを自分でJavascriptでhtmlのcanvasに描いてみた。まずは局…ameblo.jp(5) 正五角形と正六角形で平面充填が出来るのかを確認したが、七角形同士の共有する辺の長さだけが異なるというものになってしまった。これらの記事の流れからも分かる通り、私は辺の長さが等しいというのを好んで探していることが伺える。なので、正五角形が無理ならば、せめて左右対称で辺の長さがすべて等しい凸五角形で平面充填出来ないだろうかと考えるに至ったのは、至極当然と言えよう。合同な直角二等辺三角形2つで斜辺（破線）で二等辺三角形を挟んで出来た、線対称であり、辺の長さがすべて等しい、凸五角形である。この凸五角形は、5つの内角がすべて厳密値として求まってしまうので、唯一無二の凸五角形とも言えるし、誰でもいの一番に見つけてしまうであろうものでもある。今回はここが重要ですよ。このように配置することで、点対称な六角形を生成できて、これが平面充填出来ることから、この凸五角形が平面充填出来ることは容易に理解出来るだろう。ウィキペディアの記事では、現時点で15種類の分類でまとめられているのだが、まだ査読が済んでおらず、これですべてを網羅しているかは証明されていないようだ。なので、タイプ16とかが出てくる可能性も今のところ否めないのだ。さて、私が物申したいと思うのが、タイプの分類についてである。今回私が示した凸五角形は、どのタイプに含まれているのだろうか？という疑問が湧いてくるのは、至極当然であり、新種なのか、既存なのかの判断をするためである。答えは、タイプ2とタイプ4に含まれている。タイプ2:c＝eB＋D＝180˚タイプ4:b＝c, d＝eB＝D＝90˚今回示した凸五角形:a＝b＝c＝d＝eB＝D＝90˚と、タイプ2もタイプ4も包括した条件となっており、どちらにも属してしまっているのだ。えっ？そんなことってありなの？と思ってしまった。Each enumerated tiling family contains pentagons that belong to no other type; however, some individual pentagons may belong to multiple types. In addition, some of the pentagons in the known tiling types also permit alternative tiling patterns beyond the standard tiling exhibited by all members of its type.列挙された各タイリングファミリーには、他のタイプに属さない五角形が含まれています。ただし、個々の五角形は複数のタイプに属する場合があります。さらに、既知のタイリングタイプに含まれる五角形の中には、そのタイプのすべてのメンバーに見られる標準的なタイリングパターンとは異なる、代替的なタイリングパターンを許容するものも存在します。とは書いてあるが、それで分類したと言えるのだろうか。複数のタイプにまたがるような図形の存在、つまり2つの集合の積集合にあたるものは、分類であるならば、空集合であるか、空集合でないならば、それは別のタイプとして独立させ、それぞれに積集合を持たないようにするのが、ベストなりベターなりだと考えるに至ったのである。タイプ1から5に関しては、カール・ラインハルトの論文によるものであり、ここから凸五角形の平面充填にどんなものが存在するのかという未解決問題となっていく大元である。例えば、タイプ2の条件に、B≠Dがあれば、今回の凸五角形は、タイプ4という単一のタイプに分類されるのである。カール・ラインハルトが、タイプ1からタイプ5までのナンバリングに何かしらの意図があったのかまでは解らない。もしかすると、論文には、まだ積集合が存在するという事実の認識がなかった可能性も無きにしもあらず。つまり、査読にも穴があったのではなかろうか。ちょっと言いすぎかもしれないが、そう思ってしまったのだ。ウィキペディアを読み進めていくと、『p4g (4*2)』というワードに行き着き、今回に凸五角形であり、タイプ2の条件を満たしているにもかかわらず、タイプ4に属していることになっているのだ。ちょっと厳しいですかね。数学ってのはそれくらい厳しい世界だと私は思っているのかもしれない。一般的に考えて、どんなアプローチで図形を考えるかというと、最初はユニークな形から入って、その上で各辺の条件なり、各角度の条件なりを付けることで、幅が広がっていくものだと思う。つまり、最初からいきなり広範囲の図形には行かないということだ。そう考えると、すべての辺が等しいとか、線対称図形とか、図形的な条件の厳しいものが先に思いつくだろうし、見つかるはずで、その上で、その図形を広い範囲で考えて、各辺の条件なり、各角度の条件なりで、幅をもたせるものだろう。つまり、すべての辺が等しいとか、左右対称とかは、厳しい条件であるから、逆に誰でも最初に見つけてしまう可能性があるはずなのである。現に、私のようなアマチュア数学者でもいの一番に思いついたのだから…。ではではa img { background-color: lightgray;}table.renbun td { border: 0px; padding: 2px 2px 2px 2px; vertical-align: middle; white-space: nowrap; }table.renbun td.ul { border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 0px; }table.renbun td.ol { border-style: solid; border-width: 1px 0px 0px 0px; }table.ans td:nth-child(1) { text-align: center; }table.ans td div { width: 265px; overflow-x: scroll; }table.ans td div span { white-space: nowrap; }table.test td {white-space: nowrap;padding: 0 5px;text-align: right;} .u {border-bottom-style: solid;border-bottom-width: 1px;text-align: center;}table#list td { padding: 0 2px; font-family: monospace; }.no { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle;}.ni { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle; line-height:100%;}.ns { font-family:serif; font-size:250%; line-height:100%;}.io { display:inline-block; white-space:nowrap;}.io sub { vertical-align:bottom; white-space:nowrap;}.io sup { vertical-align:top; white-space:nowrap;}.ii { display:inline-block; vertical-align:middle;}.is { vertical-align:middle; font-family:arial;// font-family: sans-serif; font-size:300%; line-height:70%; font-weight: 5;// margin: 0 -15px 0 -10px;}.ii2{ display:inline-block; line-height:100%; vertical-align:middle;}.is2{ line-height:155%;// line-height:109%; font-family:sans-serif;}.mo { display:inline-block; vertical-align:middle;}.mi { display:inline-block; white-space:nowrap; vertical-align:middle; line-height:100%;}html:not([lang]) .mp { display:inline-block; line-height:100%; font-size:120%; font-family:sans-serif; margin: 0; padding: 0;}.mp{ display:inline-block; line-height:100%; font-size:120%; font-family:serif; margin: 0; padding: 0;}.md{ display:inline-block; line-height:120%; text-align:right; margin: 0 5px;}.lo { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle;}.li { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle; line-height:100%; margin: 0 5px 0 0;}.ls { font-family:serif; font-size:120%; line-height:100%;}.fb {border-style:solid;border-width:1px 0 0 0;margin:1px 0;}.fo {display:inline-block;text-align:center;vertical-align:middle;white-space: nowrap;}.fo span {margin: 0 3px;}.fo span span {margin: 0 0;}.article table {white-space: nowrap;}.ro{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:100%;position:static;}.rt{font-family: 'Meiryo', 'YuGothic', 'Gothic', sans-serif;}.ri{display:inherit;border-style:solid;border-width:1px 0 0 0;padding:0 1px 0 1px;margin:1px 0 0 0;position:relative; left:-1.5px;}article table {margin-bottom: 0 !important;}article table td {white-space: nowrap;text-align: center;}
