正n角形の各頂点から内部の点Pまでの距離が異なる自然数となる -その3-
前回からの続き。正n角形の各頂点から内部の点Pまでの距離が、異なる自然数となる点Pは、必ず存在するのだろうか。特定のnについて、存在するならば、存在する例を、1辺の長さと、各頂点から点Pまでの距離を示せ。存在しないならば、証明せよ。なお、特定のnにおいて、3以上、n未満の自然数の距離が見つかるならば、参考のためにも面積最小のものを提示する。というわけで、今回はn＝3について、多くのサンプルを使って、検証していこうかと思う。やりたいことは、各頂点から点Pまでの距離をL1、L2、L3として、1辺の長さをこれらの長さの情報から導いていく。サンプル1)L1＝2, L2＝3, L3＝4サンプル2)L1＝3, L2＝4, L3＝5サンプル3)L1＝2, L2＝4, L3＝5サンプル4)L1＝3, L2＝4, L3＝6サンプル5)L1＝2, L2＝5, L3＝6サンプル6)L1＝4, L2＝5, L3＝6サンプル7)L1＝3, L2＝5, L3＝7サンプル8)L1＝4, L2＝5, L3＝7サンプル9)L1＝5, L2＝6, L3＝7これくらいでいいかな。これらの長さで三角形を構成出来れば良いという簡単な条件ですので、いくらでも作れますね。また、これらの長さから、正三角形の面積、および1辺の長さを求めることが、他のnに比べて容易に出来ます。まずは、L1、L2、L3を3辺とする合同なヘロン三角形を3つ分の面積HH＝3×sqrt((L1＋L2＋L3)(－L1＋L2＋L3)(L1－L2＋L3)(L1＋L2－L3))/4続いて、L1、L2、L3をそれぞれ1辺とする正三角形の面積TT＝(L12＋L22＋L32)×sqrt(3)/4元の正三角形の面積SS＝(H＋T)/2元の正三角形の1辺の長さEE＝sqrt(4S/sqrt(3))ここまでは良いだろうか。サンプル1)辺の長さE=sqrt((29＋9*sqrt(5))/2)にまで辿り着きたいわけである。L12＋L22＋L32＝22＋32＋42＝4＋9＋16＝29この29は、二次方程式の解の公式における－bなのではなかろうか。という発想の元、他のa、cに相当する値を導けないだろうか。－b＝29b2＝841a＝1だと考えて先にすすめると、2a×E2＝2aS＝－b±sqrt(b2－4ac)2aS＋b＝±sqrt(b2－4ac)(2aS＋b)2＝b2－4ac(2aS＋b)2－b2＝－4acb2－(2aS＋b)2＝4ac(b2－(2aS＋b)2)/4＝acc＝(b2－(2aS＋b)2)/4それぞれのサンプルにおける、整数になる部分を示してみよう。 L1 L2 L3 －b b2 a b2－4ac 4ac ac c 2 3 4 29 841 1 405＝92・5 436 109 109 3 4 5 50 2500 1 1728＝242・3 772 193 193 2 4 5 45 2025 1 693＝32・7・11 1332 333 333 3 4 6 61 3721 1 1365＝1365 2356 589 589 2 5 6 65 4225 1 1053＝92・13 3172 793 793 4 5 6 77 5929 1 4725＝152・3・7 1204 301 301 3 5 7 83 6889 1 2025＝452 4864 1216 1216 4 5 7 90 8100 1 4608＝482・2 3492 873 873 5 6 7 110 12100 1 10368＝722・2 1732 433 433 おわかりいただけたでしょうか。n＝3については突破出来てしまいました。n＝3については、正三角形の面積を求める手段があったので、a、b、cを求めるに至りましたが、他はそうは行きません。しかし、bの値は求められますので、そこからはプログラミングで探すといったことも出来るのではなかろうか。また、n＝3は特殊で、√の中に統一性や、共通因子は見られません。しかし、他のnは共通因子があるのではなかろうかとも考えています。たまたまかもしれないが、n＝4において、bに17、√の中に23、√の外に7という共通因子が存在している。たまたまかもしれないが、n＝6において、まだ自然数となっている本数が満たされてすらいないが、bに13、√の中に13という共通因子が存在している。これらの事実をどう解釈するのか。これらの共通因子を使えば、bの値からaやcを導く何らかの法則が見つかるのではなかろうか。という妄想に浸っている。次は、n＝4について、もっとサンプルを集めてからにしましょうかね。ではではa img { background-color: lightgray;}table.renbun td { border: 0px; padding: 2px 2px 2px 2px; vertical-align: middle; white-space: nowrap; }table.renbun td.ul { border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 0px; }table.renbun td.ol { border-style: solid; border-width: 1px 0px 0px 0px; }table.ans td:nth-child(1) { text-align: center; }table.ans td div { width: 265px; overflow-x: scroll; }table.ans td div span { white-space: nowrap; }table.test td {white-space: nowrap;padding: 0 5px;text-align: right;} .u {border-bottom-style: solid;border-bottom-width: 1px;text-align: center;}table#list td { padding: 0 2px; font-family: monospace; }.no { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle;}.ni { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle; line-height:100%;}.ns { font-family:serif; font-size:250%; line-height:100%;}.io { display:inline-block; white-space:nowrap;}.io sub { vertical-align:bottom; white-space:nowrap;}.io sup { vertical-align:top; white-space:nowrap;}.ii { display:inline-block; vertical-align:middle;}.is { vertical-align:middle; font-family:arial;// font-family: sans-serif; font-size:300%; line-height:70%; font-weight: 5;// margin: 0 -15px 0 -10px;}.ii2{ display:inline-block; line-height:100%; vertical-align:middle;}.is2{ line-height:155%;// line-height:109%; font-family:sans-serif;}.mo { display:inline-block; vertical-align:middle;}.mi { display:inline-block; white-space:nowrap; vertical-align:middle; line-height:100%;}html:not([lang]) .mp { display:inline-block; line-height:100%; font-size:120%; font-family:sans-serif; margin: 0; padding: 0;}.mp{ display:inline-block; line-height:100%; font-size:120%; font-family:serif; margin: 0; padding: 0;}.md{ display:inline-block; line-height:120%; text-align:right; margin: 0 5px;}.lo { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle;}.li { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle; line-height:100%; margin: 0 5px 0 0;}.ls { font-family:serif; font-size:120%; line-height:100%;}.fb {border-style:solid;border-width:1px 0 0 0;margin:1px 0;}.fo {display:inline-block;text-align:center;vertical-align:middle;white-space: nowrap;}.fo span {margin: 0 3px;}.fo span span {margin: 0 0;}.article table {white-space: nowrap;}.ro{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:100%;position:static;}.rt{font-family: 'Meiryo', 'YuGothic', 'Gothic', sans-serif;}.ri{display:inherit;border-style:solid;border-width:1px 0 0 0;padding:0 1px 0 1px;margin:1px 0 0 0;position:relative; left:-1.5px;}article table {margin-bottom: 0 !important;}article table td {white-space: nowrap;text-align: center;}
