正n角形の各頂点から内部の点Pまでの距離が異なる自然数となる -その6-
前回からの続き。正n角形の各頂点から内部の点Pまでの距離が、異なる自然数となる点Pは、必ず存在するのだろうか。特定のnについて、存在するならば、存在する例を、1辺の長さと、各頂点から点Pまでの距離を示せ。存在しないならば、証明せよ。なお、特定のnにおいて、3以上、n未満の自然数の距離が見つかるならば、参考のためにも面積最小のものを提示する。というわけで、今回はn=6について、多くのサンプルを使って、検証していこうかと思う。やりたいことは、各頂点から点Pまでの距離をL1、L2、L3、L4、L5、L6として、1辺の長さsqrt(x)をこれらの長さの情報から導いていく。アプローチを変えました。そしたら見つかりました。各頂点からPまでの距離をL1、L2、L3、L4、L5、L6の候補となりうる物を先に探したうえで、二次方程式の解の公式のa,b,cに相当する値を求める。ということにしました。L12+L42=L22+L52=L32+L62L12+L32+L52=L22+L14+L62を満たすものをプログラムで探しました。L1=191, L2=455, L3=763, L4=887, L5=785, L6=491がものの数秒で見つかりました。これを踏まえて、a=1, -b=(ΣLn2)/6として、cをインクリメントしながら、辺の長さe=sqrt((-b+sqrt(b2-4ac))/(2a))を求め、そのeを1辺とする正六角形の各頂点座標から、隣合う2つのLn,Ln+1を使って、点Pの座標を余弦定理より求め、残りの頂点からの距離を調べて、正しいcを見つけました。さて-bやb2-4acを素因数分解してみましょうか。-b=411625=53・37・89b2-4ac=28315516177=132・23・37・47・59・71どちらにも、37という共通因子がありますね。まぁ、偶然ということだとは思います。n=6の完全解が見つかったことで、残すはn=5ということになりますが、5が奇数なことから、n=6の方法は使えません。使えるとするのは、n=8などの偶数に限られますが、n=6よりも条件が厳しくなるので、見つかるにしても、もっと大きな値となりそうではあります。これで、しばらくはこのタイトルの記事は書くことがなくなってしまいました。n=5、n=8などで、新たな進展があれば、復活するかとは思いますが、どちらも見つからない、もしくは不完全な解でも見つかれば、ということになりそうです。まぁ、ひとまず完結?かな。ではではa img { background-color: lightgray;}table.renbun td { border: 0px; padding: 2px 2px 2px 2px; vertical-align: middle; white-space: nowrap; }table.renbun td.ul { border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 0px; }table.renbun td.ol { border-style: solid; border-width: 1px 0px 0px 0px; }table.ans td:nth-child(1) { text-align: center; }table.ans td div { width: 265px; overflow-x: scroll; }table.ans td div span { white-space: nowrap; }table.test td {white-space: nowrap;padding: 0 5px;text-align: right;} table.test .y {background-color: yellow;color: black; } .u {border-bottom-style: solid;border-bottom-width: 1px;text-align: center;}table#list td { padding: 0 2px; font-family: monospace; }.no { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle;}.ni { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle; line-height:100%;}.ns { font-family:serif; font-size:250%; line-height:100%;}.io { display:inline-block; white-space:nowrap;}.io sub { vertical-align:bottom; white-space:nowrap;}.io sup { vertical-align:top; white-space:nowrap;}.ii { display:inline-block; vertical-align:middle;}.is { vertical-align:middle; font-family:arial;// font-family: sans-serif; font-size:300%; line-height:70%; font-weight: 5;// margin: 0 -15px 0 -10px;}.ii2{ display:inline-block; line-height:100%; vertical-align:middle;}.is2{ line-height:155%;// line-height:109%; font-family:sans-serif;}.mo { display:inline-block; vertical-align:middle;}.mi { display:inline-block; white-space:nowrap; vertical-align:middle; line-height:100%;}html:not([lang]) .mp { display:inline-block; line-height:100%; font-size:120%; font-family:sans-serif; margin: 0; padding: 0;}.mp{ display:inline-block; line-height:100%; font-size:120%; font-family:serif; margin: 0; padding: 0;}.md{ display:inline-block; line-height:120%; text-align:right; margin: 0 5px;}.lo { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle;}.li { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle; line-height:100%; margin: 0 5px 0 0;}.ls { font-family:serif; font-size:120%; line-height:100%;}.fb {border-style:solid;border-width:1px 0 0 0;margin:1px 0;}.fo {display:inline-block;text-align:center;vertical-align:middle;white-space: nowrap;}.fo span {margin: 0 3px;}.fo span span {margin: 0 0;}.article table {white-space: nowrap;}.ro{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:100%;position:static;}.rt{font-family: 'Meiryo', 'YuGothic', 'Gothic', sans-serif;}.ri{display:inherit;border-style:solid;border-width:1px 0 0 0;padding:0 1px 0 1px;margin:1px 0 0 0;position:relative; left:-1.5px;}article table {margin-bottom: 0 !important;}article table td {white-space: nowrap;text-align: center;}