ちょっと気になることがあって、計算してみました。
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22＋1
22－1 |
・ |
32＋1
32－1 |
・ |
52＋1
52－1 |
・ |
72＋1
72－1 |
・ |
112＋1
112－1 |
・…・ |
pn2＋1
pn2－1 |
・… |
こんな級数がある。
ちなみにpnはn番目の素数だ。
いったいいくつに収束するのか、はたまた発散するのか。
シンキングタ～イム
おそらくは、pnが大きくなると、分母分子の差異は相対的に小さくなって行くので、1を掛け続けるように働くから、収束するだろうということは、ある程度の経験からわかるだろう。
前に、こんなことを書いた。
このときは、π2/6に収束するものを紹介した。
というわけで、同じように多倍長演算で計算してみた。
n p_n Π{p∈PRIME} (p^2+1)/(p^2-1) = 5/2
2 3 2.0833333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
6 13 2.4186212269437095825984714873603762492651381540270429159318048206937095825984714873603762492651381540
24 89 2.4903939377014188092716381571998373454175805490250653497196420492377727359673027722971246855975163241
120 659 2.4990028705183492046077829576337161911188609869408304038021631934483242818764487805675826313923240782
698 5261 2.4999000988186752269716221887056415284086468820951555690001393477351491150602728616389954618812959945
4488 42937 2.4999900009905951868950218922637067264655383279957505854891518654331669511126465399324800315991130171
31028 363557 2.4999990000101720399936188322831252540968294821669987493040460781738245866273156139138629938963648896
226400 3143447 2.4999999000004479512522380825612765916376591958077830673515981996131726314921556125707900895274190482
下から5/2に収束しようとしている。
前回は超越数に収束していたが、今回は有理数に収束しているのだ。
数学は不思議なものを見せてくれる。
楽しい学問だなと思う。
ではでは