ちょっと気になることがあって、計算してみました。
|
π2
6 |
＝ |
1
12 |
＋ |
1
22 |
＋ |
1
32 |
＋ |
1
42 |
＋ |
1
52 |
＋…＋ |
1
n2 |
＋… |
| π2 | ＝ | 1 | ・ | 1 | ・ | 1 | ・ | 1 | ・ | 1 | ・…・ | 1 | ・… | ||||||
| 6 | 1－ | 1 | 1－ | 1 | 1－ | 1 | 1－ | 1 | 1－ | 1 | 1－ | 1 | |||||||
| 22 | 32 | 52 | 72 | 112 | pn2 | ||||||||||||||
前者は自然数の2乗の逆数の無限和
後者は1から素数の2乗の逆数を引いたものの逆数の無限積
であり、ともにπ2/6に収束する。
πは円周率で、無理数、超越数という数の集合に含まれている。
両者の式の各項はいずれも有理数の域を出ていないが、無限に足したり、無限に掛けたりすると、無理数になり、更には超越数にまでなってしまう。
実際問題として、無限に計算し続けるってことは出来ないが、
収束していく様は見ることが出来る。
式として知ってはいるが、この級数がどのくらいの速さで収束していくのかは調べていなかった。
まぁ、おそらくとても遅いだろうことは経験から解ってはいる。
というわけで、多倍長演算で、両辺を6倍して平方根を取った値。
つまり円周率πの正しい桁数になった、nやpnで追ってみた。
n pi
7 3.0117739478462141163330696269005848466985639323538806976810688584889531716040397682781070819473463658
23 3.1006973013951778645237528919893361975283997918057327389918635974791444174001039103743146840701692032
600 3.1400020270364579646094959731578799811169599230942770323088920641043653428237154105476425964860772251
1611 3.1410000257864873819789208394616878508281005420475947281575972683290532743567658358864040325266291361
10307 3.1415000080658115551674639097576455268935341233249542147956606075057635260842482526947713806479884285
359863 3.1415900000001353593073353154958678618360931552379150758749190069109952663799506534212081799360814676
1461054 3.1415920000003769059268019963645577776028338037235278272506327244449860752166218236450102158440527173
17819245 3.1415926000000008594282097452983947322647426794869689196139481166916632917332320532873676959003468605
n p_n pi
2 3 3.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
5 11 3.1064553922705322933208691227421330211889059511192968088254497915701895633244519331352617501887277175
38 163 3.1400472034036959717182195948958554176158294555552694734765358331343954927270710682564411320689662045
76 383 3.1410096889684646732956427917495443951862413367803785079845819760945822747687792746049858080136737517
301 1993 3.1415002685056318252478084326791460955277682493834325507885457492823325912936551348854359714714131822
5161 50287 3.1415900005782103871711388268891650819385418400261659848592502414743361806422480650212001150603794669
16663 184003 3.1415920000050917030227985533507908687775290367633294490674071410746866253571610265602131140550711879
142215 1902779 3.1415926000003428979347399069910950542137174606962440312699808592845907227618855103263058676877628702
どちらの式も下から収束しようとしている。
素数を使った式のほうが収束は速いようだ。
プログラミングして、実際に計算をさせてみたら解るとは思うが、素数を求め続けるってのはどんどんと遅くなっていくことになる。
方や、自然数は等差数列であり、自然数の2乗も等差数列の階差数列で表せるので、それを使えば良い。
実際問題として、こんな計算をして円周率を求めるってのは、コンピュータ登場以前の、数百年前の円周率の求め方であって、現在はもっと高速なアルゴリズムが多数存在する。
それでも、自分で経験してみないと納得が行かない自分がいる。
愚者は経験に学び、賢者は歴史に学ぶ。
なんていうけれども、歴史に学ぶのは賢いのかもしれないが、経験してみるのも悪いこととは思えないんだよね。
ならば、自分は愚者として生きる道を選ぶんだよね。
ではでは