P≠NP予想
計算複雑性理論におけるクラスPとクラスNPが等しくないという予想であるP対NP問題（PたいNPもんだい英: P versus NP）と呼ばれることもある理論計算機科学と現代数学上の未解決問題の中でも最も重要な問題の一つ例えばRSA暗号は素因数分解ElGamal暗号および楕円曲線暗号は離散対数問題の多項式時間による解法が存在しないことを安全性の根拠とした暗号であるがこれらの問題はどちらもクラスNPに属する問題に多項式時間帰着できる仮にP≠NP予想が否定された場合素因数分解などが多項式時間で計算可能であることになりこれらの暗号の安全性は根底から覆ることになる2002年8月6日にマニンドラ・アグラワル教授らによってAKS素数判定法が発表されたこれによると与えられた自然数が素数であるかどうかを log n の多項式を上界とする決定的多項式時間で判定できるこれにより素数判定が実際にクラスPに属することが示されたしかし素因数分解が多項式時間でできるかどうかははっきりしていないそれだけではなくP＝NPであれば「一方向性関数が存在しない」ことも証明できるそして「一方向性関数が存在しない」ならば多項式時間で破れない公開鍵暗号やハッシュ関数擬似乱数が存在しないことが導かれる逆に「一方向性関数が存在する」ならば少なくとも多項式時間では破れない共通鍵暗号が構成できること擬似乱数が存在することが証明されているまた暗号方式とその平文・暗号文ペアを与えられて鍵の1ビットを判定する問題は多項式時間で検証可能であるからこの暗号方式が既知平文攻撃の条件で鍵探索が困難であることを証明できるならば多項式時間で判定不可能であることを示したことになりP≠NP予想を証明できたことになる
ホッジ予想
代数幾何学の大きな未解決問題であり、非特異複素多様体と部分多様体の代数トポロジーに関連しているホッジ予想は複素解析多様体のあるホモロジー類は代数的なド・ラームコホモロジー類であろうつまり部分多様体のホモロジー類のポアンカレ双対の和として表されるようなド・ラームコホモロジー類であろうという予想であるこの定式化はスコットランドの数学者ウィリアム・ヴァランス・ダグラスにより1930年から1940年のド・ラームコホモロジーの記述を複素多様体の場合に存在する余剰な構造を含む記述へと拡張する仕事の結果として得られた1950年の米国のマサチューセッツ州ケンブリッジで行われた国際数学者会議でホッジが提起するとホッジ予想は非常に注目をあびるようになったホッジ予想の最初の結果は Lefschetz によって提供された実際この論文はホッジ予想に先行していてホッジ予想の成立にいくつかの動機をもたらした
定理 （レフシェッツ(1,1)-クラスの定理H2(X, Z) ∩ H1,1(X) の任意の元はX 上の因子のコホモロジー類である特にH2 についてホッジ予想が成立する層コホモロジーと指数完全系列を使うとこのことが非常に簡明に証明できるグリフィス横断性定理はこのアプローチでは余次元が高い部分多様体に対しては、ホッジ予想を証明し得ないことを示している強レフシェッツ定理により定理 次数が p < n であるホッジ類に対しホッジ予想が正しいとするとホッジ予想は次数が 2n - p のホッジ類に対して正しいが証明される上記の2つの定理を結び合わせるとホッジ予想が次数 2n − 2 のホッジ類に対して正しいことが証明されるこのことによって X の次元が高々3のときにはホッジ予想が正しいことが証明できるレフシェッツ(1,1)-クラスの定理は、もしすべてのホッジ類が因子のホッジ類によって生成されるとするならば、ホッジ予想が成り立つことを意味する系 代数
Hdg∗(X)=∑kHdgk(X)\operatorname {Hdg}^{*}(X)=\sum \nolimits _{k}\operatorname {Hdg}^{k}(X)
が Hdg1(X) により生成されるとするとX に対しホッジ予想が成り立つ超曲面強いレフシェッツ定理と弱いレフシェッツの定理により超曲面についてのホッジ予想の唯一の非自明な部分は、2m 次元超曲面の次数 m の部分X⊂P2m+1X\subset {\mathbf P}^{{2m+1}} である次数 d が 2つまりX が二次曲面の場合にはホッジ予想はすべての m に対して成立するm = 2つまり4次元多様体の場合はホッジ予想はd≤5d\leq 5 に対し成立することが知られているアーベル多様体の場合大半のアーベル多様体に対し代数 Hdg*(X) は次数 1 で生成されるのでホッジ予想が成り立つ特にホッジ予想は十分一般的なアーベル多様体楕円曲線の積や単純アーベル多様体に対して成り立つしかしMumford ではHdg2(X) が因子クラスの積によって生成されないようなアーベル多様体の例を構成したこの例を Weil で一般化したこのことは多様体が虚二次体によって虚数乗法を持つときはいつでも Hdg2(X) が因子類の積によっては生成されないことを示すことでなされた。Moonen & Zarhin (1999)は 5 より次元の小さい場合に対しHdg*(X) が次数 1 で生成されるかあるいは多様体が虚二次体の虚数乗法を持つかのいずれかであることを証明した後者の場合にはホッジ予想が成り立つ例は特別ないくつかの場合だけしか知られていない
リーマン予想
ドイツの数学者ベルンハルト・リーマンによって提唱されたゼータ関数の零点の分布に関する予想である英語表記 Riemann Hypothesis の直訳であるリーマン仮説と表記したりRH と略すこともある1859年にリーマンは論文「与えられた数より小さい素数の個数について」を発表しその中でリーマン予想を提示したリーマン自身はその証明を試みて成功しなかったことを認めているが中間的な結果としてゼータ関数の自明でない零点の実数部が 12について対称でありかつ 0 から 1 の間にしか存在しないことを示していた1896年にド・ラ・ヴァレ・プーサンとアダマールが独立に素数定理を証明したがそれはゼータ関数の自明でない零点の実数部が1になりえないことの証明によるものだったよって自明でない零点の実数部の範囲は、境界を含まないところまで狭められた1900年にパリで開かれた第2回国際数学者会議でヒルベルトは数学上の未解決の問題23題を提起したリーマン予想はこの内素数の分布に関する8番目の問題に含まれている1914年ハーディとリトルウッドは Re s = 12上に零点が無限に存在することを示したただしこの他に零点が存在する可能性は排除できていない1972年ヒュー・モンゴメリーと物理学者フリーマン・ダイソンがゼータ関数上の零点の分布の数式が原子核のエネルギー間隔を表す式と一致することを示し素数と核物理現象との関連性が示唆された以降物理学者も含めてリーマン予想の研究が活発化する1996年シアトルで第一回世界リーマン予想会議が開催されるこの中でアラン・コンヌが素数問題と非可換幾何との関係性を示した
ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ
問題は流体力学の重要な柱の一つであるナビエ-ストークス方程式の解の数学的性質に関連しているこれらの方程式は空間の中の流体の運動を記述するナビエ–ストークス方程式の解は多くの実践的な応用で使われるしかしながらこれらの方程式の理論的な理解は不完全である特にナビエ–ストークス方程式の解は乱流となることがあり科学や工学に対し計り知れない重要性があるにもかかわらず乱流は最も難しい物理学の未解決問題の一つとして残っているナビエ–ストークス方程式の解の基本的性質さえ証明されていない方程式の 3次元の系について初期条件が与えられたとき滑らかな解が常に存在することもし存在するとしたらその解が質量当たり有界なエネルギーを持っているか[要出典]ということを数学的にはいまだに証明されていないこの問題を解の存在と滑らかさの問題というナビエ–ストークス方程式の理解が乱流のとらえどころのない現象の理解という第一段階と考えられている
バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想
数論の分野における未解決問題である略してBSD予想と呼ばれるそれは最もチャレンジングな数学の問題の 1 つであると広く認められている予想は機械計算の助けを借りて1960年代の前半に予想を立てた数学者ブライアン・バーチとピーター・スウィンナートン＝ダイアーにちなんで名づけられている2014年現在予想の特別な場合のみ正しいと証明されている予想は代数体 K 上の楕円曲線 E に伴う数論的データを E の ハッセ・ヴェイユの L-関数 L(E, s) の s = 1 における振る舞いに関係づけるより具体的には、E の点のなすアーベル群 E(K) のランクは L(E, s) の s = 1 における零点の位数でありs = 1 における L(E, s) のテイラー展開における最初の 0 でない係数は K 上の E に付属しているより精密な数論的データによって与えられるということが予想されている
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