１９の倍数の判定法

こちらの続きの内容です。

定理　ある数が１９の倍数であるためには、一の位から左へ９桁ごとに区切り、奇数番目の区画にある９桁以下の数の和と、偶数番目の区画にある９桁以下の数の和との差が１９の倍数であることが必要十分条件となる。

証明

$10 \equiv 10 \mod 19$

$10^{2} =100 \equiv 5 \mod 19$

$10^{3} =10^{2} \times 10 \equiv 5 \times 10 =50 \equiv 12 \mod 19$

$10^{4} =10^{3} \times 10 \equiv 12 \times 10 =120 \equiv 6 \mod 19$

$10^{5} =10^{4} \times 10 \equiv 6 \times 10 = 60 \equiv 3 \mod 19$

$10^{6} =10^{5} \times 10 \equiv 3 \times 10 = 30 \equiv 11 \mod 19$

$10^{7} =10^{6} \times 10 \equiv 11 \times 10 = 110 \equiv 15 \mod 19$

$10^{8} =10^{7} \times 10 \equiv 15 \times 10 = 150 \equiv 17 \mod 19$

$10^{9} =10^{8} \times 10 \equiv 17 \times 10 = 170 \equiv -1 \mod 19$

より、n≧1に対して、下記が成立するためです。

$10^{9n} \equiv \left(-1\right)^{n} \mod 19$

例題　85863230758293254672429568が１９の倍数であるか判定せよ。

解答　一の位から左へ９桁ごとに区切り、奇数番目の区画にある９桁以下の数の和と、偶数番目の区画にある９桁以下の数の和との差を求めると、

$(672429568+85863230)-758293254=-456=19 \times (-24)$

となり、19の倍数となるため、元の数も19の倍数となります。　

※ 例題の確かめ算は、下記のサイトでも出来ます。

また、下記も参考にしてみてください。