束論入門1 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
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１．束の定義と諸性質(承前)
今度は、束を代数的構造として定義します。
束の代数的定義：
集合 L 及び L 上の2項演算∨，∧からなる代数的構造（L, ∨, ∧）が
交換律c-1∨，c-1∧，結合律c-2∨，c-2∧，吸収律c-3∨，c-3∧
の6つの式をみたすとき、（L, ∨, ∧）を束という。
交換律と結合律は、他の代数的構造でもよく見かけるものですが、吸収律は束に特有です。
（L, ∨, ∧）という表記において、∨が先、∧が後に来るのには理由があり、後ほど説明します。
代数的に定義された束において、べき等律 x∨x ＝ x が成り立つことを示します。
吸収律から、
x∨(x∧y) ＝ x．
左辺のyに式 y ＝ x∨z を代入すると、次の式が得られる。
x∨(x∧(x∨z)) ＝ x． ・・・ (1)
ここで、吸収律から、
x∧(x∨z) ＝ x． ・・・ (2)
(1)式の左辺を(2)式で置き換えると、次のべき等律が得られる。
x∨x ＝ x．
x∧x ＝ x についても、双対的に示すことができます。
代数的に定義された束（L, ∨, ∧）において、任意の2元 x, y について、
x ＝ x∧y
という関係を考えます。
この関係は、順序の3つの性質をみたします。
反射律 ： x ＝ x∧x．
反対称律： x ＝ x∧y かつ y ＝ y∧x ならば x ＝ y．
推移律 ： x ＝ x∧y かつ y ＝ y∧z ならば x ＝ x∧z．
証明：反射律；べき等律そのもの。
反対称律；x ＝ x∧y ＝ y∧x ＝ y．
推移律；x ＝ x∧y ＝ x∧(y∧z) ＝ (x∧y)∧z ＝ x∧z．
したがって、代数的に定義された束（L, ∨, ∧）において x ＝ x∧y という関係は順序関係となるので、これを順序 ≦ とします。
この順序 ≦ について、上限を結び、下限を交わりとして順序的に束を定義すると、元の代数構造 ∨ と ∧ が再現されます。
この順序 ≦ を、代数構造（L, ∨, ∧）から誘導される順序といいます。
次に、代数的に定義された束（L, ∨, ∧）において、任意の2元 x, y について、
y ＝ x∨y
という関係を考えます。
この関係も順序の3つの性質をみたし、かつa-1bから導入される順序と全く一致します。
有界束の定義：
最大元と最小元を有する束を有界束(bounded lattice)という。
有界束では最大元を 1 で、最小元を 0 で表す。
有界というのは、上界と下界が存在するという意味でしたね。
有界束のイメージは、“一番上と一番下が1点に絞られた網の目のようなもの”です。
有界束では、 0 は演算∨に関する単位元、 1 は演算∧に関する単位元になっています。
すなわち、任意の元xに対して、
x∨0 ＝ 0∨x ＝ x．
x∧1 ＝ 1∧x ＝ x．
つまり、∨が加法＋に、∧が乗法×に相当するわけです。
これが、束の代数的定義において（L, ∨, ∧）のように、∨を∧よりも先にする理由です。
有界束の代数的定義（L, ∨, ∧, 0, 1）では、 1 を演算∨に関する単位元、 0 を演算∧に関する単位元として導入します。
すると、誘導される順序において、 1 は最大元、 0 は最小元となります。
２．束の例
抽象的な定義を示したので、次に例を挙げます。
2-1 べき集合 P(X) と包含順序
任意の集合Xのべき集合 P(X) に包含順序を入れたものは、束となります。
結びは集合の合併 ∪ であり、交わりは集合の共通部分 ∩ です。
最小元は空集合∅であり、最大元はXです。
したがって、P(X) は有界束となります。
包含順序は、束、そしてこれから導入するブール代数の典型です。
2-2 集合の分割と細分による順序
ある集合の分割とは、その集合の部分集合の族で、共通部分をもたず、かつ合併がその集合自身になるものです。
3元集合 X＝{x, y, z} の分割は、{{x, y}, {z}} のような集合です。
これを簡略化して、xy/z と書くことにします。 集合Xの分割は、次の5個です。
x/y/z，xy/z，xz/y，x/yz，xyz
分割全体の集合に、細分（分割がより細かい）による順序を導入します。
x/y/z≦xy/z，x/y/z≦xz/y，x/y/z≦x/yz，
xy/z≦xyz，xz/y≦xyz，x/yz≦xyz，x/y/z≦xyz
最小元は x/y/z、最大元は X＝xyz です。
任意の集合の分割全体に細分順序を入れたものは有界束となります。
4元集合の分割に関する細分順序は、wikiの「束（束論）」という項目に載っています。
3元集合の場合とは異なり、上下非対称であることが分かります。
5元集合について分割を列挙するのは、良い暇つぶしになります(^_^
2-3 実数直線 R のすべての開区間から生成される集合
実数直線 R のすべての開区間について、その任意個の合併をとって、その全体に包含順序を入れます。
R 自身も開区間であり、また空集合∅は開区間0個の合併と考えられるので、どちらも含まれ、それぞれ最大元、最小元となります。
結びは合併ですが、定義からこの集合に含まれます。
一方、交わりは共通部分ですが、開区間どうしの交わりは開区間か空集合になります。
したがって、この集合は包含順序による有界束となります。
2-4 N，Z，Q，R
全順序集合は束なので、自然数集合 N，整数集合 Z，有理数集合 Q，実数集合 Rは、通常の大小順序により束となります。
ただ、いずれも最大元をもたないため、有界束にはなりません。
2-5 自然数集合Ｎと整除関係
自然数ｎがｍを割り切ることを整序関係といい、ｎ｜ｍ と書きます。
整除関係｜が反射律、反対称律、推移律をみたすことは簡単に確認できます。
N に整序関係で順序を入れると、2つの自然数 n と m の最小公倍数が両者の上限つまり結び、最大公約数が両者の下限つまり交わりとなっており、束であることが分かります。
さらに、N における｜による順序の最小元は 1 です。
・すべての自然数ｎに対して 1｜ｎ
他方で、最大元は 0 となります。
・すべての自然数ｎに対して ｎ｜0
一見奇妙ですが、0 が自然数であること、また「自然数ｎがｍを割り切る （ｎ｜ｍ） とは、 ｍ＝ｌ・ｎ が成り立つ自然数 ｌ が存在することを意味する」こと、0＝0・ｎ を考え合わせれば、納得できます。
したがって、自然数集合 N に整除関係を順序として入れたものは、有界束となります。
ただし、最小元が 1 、最大元が 0 となって、有界束の一般的定義とは逆になります。
要注意ですね。
-------------------- 続 く -------------------
次回はいよいよブール代数が登場します。
★ 昨日8月10日(水)、将棋第81期順位戦A級2回戦で藤井聡太竜王と菅井竜也八段の対局が行われ、藤井竜王が通算56回目の敗北を喫しました。ガッカリです。
★★ 今日のロジバン
ma rupnu canja parbi 「マ ルㇷ゚ヌ シャンジャ パㇽビ」
為替レートはいくらですか?
ma ： 疑問代項詞。KOhA7類
rupnu ： 円/ドル/ユーロ/上位単位だ，x1は x2(数量)･x3(通貨体系)の。-rup-, -ru’u-
canja ： 交換する，x1(者)は x2(差し出す対象)を x3(受け取る対象)と x4(者)と；x1，x4は貿易業者/投機家/相場師/物々交換する者。-caj-
parbi ： 比/比率だ，x1は x2(数量/被除数)の x3(数量/除数)に対する。-pab-
{ rupnu canja parbi } でtanruになっています。
canja という語根は、英語の change を連想させますね。
出典は、
ロジバン語会話集 - ウィキトラベル (wikitravel.org) お金の項から