(つづき)
Theorem 1 （族の存在に関する定理）
任意の自然数 n (≧3) に対し，marked polarized K3 surfaces の family
X → S が存在して，次の性質を持つ：
a) effectively parametrized (以前の記事参照・・・この当時の用語)
b) marked porlaized K3 surface で the class ξ が P^nへの埋め込みを定めるもの（任意）は，family X のあるfiber X_s にmarked porlaized K3 surfaceとして同型である．
c) the base S は複素19次元である．
注意：
Theorem 1は，族に関する定理であり，
ここではまだ，周期領域も周期写像も出て来ません！
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さて，上のTheorem 1で得られた族のbase S 上で周期写像 τ を考える．
すなわち，各fiberX_s (marked polarized K3 surface)に対して，その周期（∈Ω(l)）を対応させる．
すると，次の系を得る：
Corollary of Theorem 1
周期写像 τ はholomorphicであり，複素多様体(manifold) S と Ω(l) の間のlocal isomorphism となっている．
（証明には，S と Ω(l) の複素次元がともに19であることが使われている）
●このように，
§2までに書かれている結果が，Nikulinの論文を理解するのに必要な部分ですが，
§5にも重要な結果が述べられていますので引用します：
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この論文では，まず，special Kummer surfaces と呼ばれる代数的K3曲面に対して，The global Torelli theorem (the second form) が証明されている．
それは，次のとおり：
Theorem 1 of §5
X と X' を代数的K3曲面とし，X はspecial Kummer surfaceだとする．
もし，H_X から H_X' へのisometryψで，
周期を周期に写し（⇔Hodge分解を保つ），
effective classes を effective classes に写すものが存在すれば，
(1) X' も special Kummer surfaceである．
(2) ψは，X から X' へのあるisomorphismφから誘導される．
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次の補題は重要である．
Lemma 5
X とX' を代数的K3曲面とする．φがPicard lattices S_X からS_X' へのisometryで，
あるvery ample class を，very ample classs に写すならば，
φはeffective classをeffective classに写す．
注意：
２つの代数的polarized K3 surfaces の間のHodge isometry（⇔isometryかつ周期を周期に写す）は，偏極（あるvery ample class ）を偏極に写すならば，
Kaehler cone のある元をKaehler cone のある元に写すのだから，もちろん，
positive cone を保ち，
Lemma 5 より，さらに，effective classをeffective classに写すので，
「effective Hodge isometry」であることになる！！
（注： 中井の判定法より，ample class は，その自乗が正かつ，任意のeffective class との積が正なので，the Kaehler cone に属する）
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他の参考文献：
I.I. Piateckii-Shapiro, I.R. Shafarevich,
The arithmetic of K3 surfaces の§1のみ．
Proc. Steklov Inst. Math., 132 (1973), 45--57.
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(2009/6/5 作成)
(2009/7/10 修正)