I.I. Pjateckii-Shapiro, I.R. Shafarevich,
A Torelli theorem for algebraic surfaces of type K3,
Math. USSR Izvestija, 5-3 (1971) 547--588.
この論文は，代数的な K3 surfaceに対するThe global Torelli theoremを証明した論文である．
注意したいのは，この論文における「marked K3 surface」とは，
(代数的な) marked polarized K3 surface
を意味するということ．
これらに対しては，後に考案されたBurns-Rapoport periodでなく，従来の
周期 [α_C(η)] ∈ Ω(l)
（ここで，ηは，X上のa nowhere vanishing holomorphic 2-form）
を考えるだけで，「marked polarized K3 surface」 を識別できることが書かれている．
marking を付すこと，Hodge isometry，さらに，effective Hodge isometry のアイデアが，代数的K3曲面に関するこの論文の中ですでに現れている．
●K3曲面に関するNikulinの論文を勉強するためには，
Pjateckii-Shapiro and Shafarevich のこの論文を（結果だけでも）読むことが必須です．
内容は以下のとおり：
Introduction
§1 Statement of the problem. Basic results
marked polarized K3 surfaceの定義，それが同型であることの定義，
周期領域 Ω
Ω(l)・・・・Ωにおいて，l の直交補空間，これは，
C^19におけるIV型対称領域の２つのコピーのdisjoint unionである．
周期(period)の定義．
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Torelli theorem for K3 surfaces
marked polarized K3 surfaces（の同型類）はその周期により決まる．
The second form of Torelli theorem
X, X' を代数的K3曲面とし，それぞれの２次元ホモロジー群をH_X，H_X'
とする．lattices H_X から H_X' へのisometryで，
Xの周期をX'の周期に写し，
Xのeffective classesをX'のeffective classesに写すもの
（つまり，effective Hodge isometry）
は，XからX'への（uniqueな）isomorphismから誘導される．
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K3曲面Xに対するリーマン・ロッホの不等式と，
それから導かれるX上のdivisorsに関する基本的性質の確認．
§2 Families of marked (polarized) K3 surfaces
X を代数的K3曲面とし，FをX上のvery ample sheafとし，
X ⊂ P^n を対応する埋め込みとする．（このnを固定する）
C を対応するdivisor classとする．（つまり，hyperplane sectionsのclass）
すると，l(C)=n+1，C^2=2n-1，Cのgenus g(C) = n である．
このような代数的K3曲面の集合は，
the Hilbert scheme のa Zariski open set S' 上のfamilyを成す．
（Grothendiek [9],p.23）
Proposition 1 (p.554)
scheme S' はsmoothである．（連結とは限らぬ）
（注意： 後でわかる事から，S'の次元は19よりかなり大きいはず）
このS'上のfamilyを考え，改めて，f' : X' → S' とおく．
各fiberにおいて，hyperlplane section の homology class ξ_s' を指定する．(polarized K3 surface)
Lの元 l を指定する．
S'の点s'で，H_{X'_s'}からLへのisometryで，ξ_s'を l に写すものが存在するようなs'の全体を
S'_0
とおく． （そのようなisometryが存在するためには，
ξ_s'と l の最大約数が一致し， (ξ_s')^2 = l^2 であることが必要十分！）
すると，S'_0 は，S' のZariski connected component となっている．
このようにして，S'の各点s'で，このような S'_0 が得られる．
～～～～
次に，S'の各点s'で，
H_{X'_s'}からLへのisometryで，ξ_s'を l に写すもの全体を考える．
（つまり，すべてのmarkingを考える）
このようにして，
すべての（考え得る）marked polarized K3 surfaces をfiberとするfamily
f'' : X'' → S'' を作る．
P^nへのactionにより，PGL(n+1, C)がX'' と S'' にactする．
この作用によるquotientsを考える（考えることができる）ことにより，
family
f : X → S を得る．
すると，X と S は complex manifold になっている（p.557）．
そして，次の重要な Theorem 1 を得る：
（次の記事に続く）
(2009/6/4 作成)
(2009/7/10 修正)