文献：
V.V. Nikulin,
Integral symmetric bilinear forms and some of their applications,
Izv. Akad. Nauk SSSR Ser Mat. 43-1 (1979), 111--177.
= Math. USSR Izv. 14-1 (1980), 103--167.
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定理3.10.1
Μ_{n,k}(R)の連結成分は，
polarized integral involution (偏極対合付き格子) (L,φ, h)
(ここで，φは，lattice L上のformを保つhomomorphismであるようなinvolution，
h ∈L) で，L が even unimodular lattice of signature (3,19) (つまり，K3格子)，
φ(h)=-h, h はLの中でprimitive， t_(+) = 1， h^2 =n であるものの同型類
と bijectiveに対応する．
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ここで，φのfixed part E_+ 上のsignatureを (t_(+), t_(-)) とする．
この定理（定式化はこちら
）の証明の概要は以下のとおり：
注意事項
[1] Μ_{n,k}(R)は，ヒルベルトスキームH_{n,k}(R)をPGL(N+1, R)で割ったものであった．
[2] H_{n,k}(R)の各連結成分に対し，そこに属する実代数的偏極K3曲面の
「associated polarized integral involution(L,φ, h)」の同型類は決まる．
Μ_{n,k}(R)に対してもそうである．
また，そのようなpolarized integral involution (L,φ, h) は，
φがlattice L上のformを保つhomomorphismであるようなinvolution，
h ∈L，L は even unimodular lattice of signature (3,19) (つまり，K3格子)，
φ(h)=-h, h はLの中でprimitive， t_(+) = 1， h^2 =n という性質を持つ．
[3] Pijateckii-Shapiro and Shafarevichによる代数的K3曲面に対する大域的トレリ定理
の主張においては，
2次元コホモロジー上のisometryからK3曲面間の複素解析的同型が決まるということも重要である．
これにより，K3曲面上の反正則対合の存在（実K3曲面であること）もいえる．
[4] (L,φ, h)のautomorphismで移りあうような周期を「equivalentな周期」という．
[3]により，ある周期に対応する偏極実K3曲面が存在すれば，
それにequivalentな周期に対応する偏極実K3曲面が存在する．
特に，ルートにおける鏡映も， (L,φ, h)のautomorphismである．
V. S. Kulikov,“Surjectivity of the period mapping for
UMN, 32:4(196) (1977),
は，(L,h)のautomorphismsの，周期領域への作用に関する商空間への全射性を言っている．
しかし，代数的K3曲面に対応する周期については，こちら を参照！
[5] 周期を実部と虚部に分け，その対として，「実代数的K3曲面の周期」を考えていく．
[6] n=2, n=4 の場合は特別扱いを要する．
[7] polarized integral involution (L,φ, h) のひとつの同型類を固定すると，それに対し，
周期領域のある部分集合 Ω_{φ, h, k} が定義される．この集合は連結である．
この各点に対して，Kulikovによる周期写像の全射性を用いて，
ある実代数的偏極K3曲面が対応するが，
それらのK3曲面は，P^N(R)の可逆実線形変換を除いて一意的である．
この，「実」の部分の主張は，Kharlamov(1976)の論法をまねている．
P^Nへの埋め込みについては，Saint-Donatの結果を用いている．
周期写像によりΩ_{φ, h, k} の点に対応するような実代数的偏極K3曲面に対して，
そのassociated polarized integral involutionの同型類は(L,φ, h)である．
[8] H_{n,k}(R) のいくつかの連結成分が，周期写像により，
ひとつのΩ_{φ, h, k} のopen coveringをなしているが，Ω_{φ, h, k} の連結性により，
それらの各連結成分は，それぞれ，Ω_{φ, h, k} 全体上に写る．
また，[7]前半により，Ω_{φ, h, k} に写るようなH_{n,k}(R) の連結成分たちは，
projectively equivalentである．
説明：
H_{n,k}(R)のひとつの連結成分C上の点（実代数的偏極K3曲面）を，周期写像により周期領域に写すとき，その実代数的偏極K3曲面のassociated polarized integral involutionの同型類を(L,φ, h)とすると，周期点はΩ_{φ, h, k}に含まれるはずである．[2]より，H_{n,k}(R)の各連結成分に対し，そこに属する実代数的偏極K3曲面のassociated polarized integral involutionの同型類は決まるので，さきほどの連結成分C上のすべての点は，周期写像により，Ω_{φ, h, k}の中に写ることになる．
周期写像はΜ_{n,k}(R)上の局所解析的同型写像である（Pijateckii-Shapiro and Shafarevich参照）ことから，さきほどの連結成分Cの像は，Ω_{φ, h, k}の中の開集合である．
仮に，その開集合がΩ_{φ, h, k}全体に一致しないとしよう．
その開集合に属さないΩ_{φ, h, k}の点を考えると，[7]より，それに対応する実代数的偏極K3曲面を考えると，そのassociated polarized integral involutionの同型類は(L,φ, h)なので，その実代数的偏極K3曲面は，やはり，H_{n,k}(R)に属することになる．それを含むH_{n,k}(R)の連結成分C'(これはCではない)を考えると，さきほどと同様に，連結成分C'上のすべての点は，周期写像により，Ω_{φ, h, k}の中に写る．このようにして，Ω_{φ, h, k}は，H_{n,k}(R)のいくつかの連結成分により，周期写像によりopen coverされていることがわかる．さきほども述べたように，それらの連結成分の像はΩ_{φ, h, k}の開集合である．もし，２つの連結成分の像が交わるとすれば，[7]により，それらの２つの連結成分は，PGL(N+1, R)の作用で写りあい，像は完全に一致するはずである．このようにして，Ω_{φ, h, k}は，周期写像により，H_{n,k}(R)のいくつかの連結成分により，open coverされ，しかも，それらのopen setたちはdisjointであることになる．ところが，Ω_{φ, h, k}は連結なので，結局，
さきほどのH_{n,k}(R)の連結成分Cの周期写像による像はΩ_{φ, h, k}全体であることがわかった．
そして，H_{n,k}(R)の別の連結成分'もΩ_{φ, h, k}に写るとすれば，これらの２つの連結成分は，PGL(N+1, R)の作用で写りあい（すなわち，Μ_{n,k}(R)においては同じ連結成分），後者の連結成分の像もΩ_{φ, h, k}全体であることがわかった．
証明の完結：
まず，Μ_{n,k}(R)の各連結成分に対し，
polarized integral involution (L,φ, h) (ここで，φは，lattice L上のformを保つhomomorphismであるようなinvolution，h ∈L) で，L が even unimodular lattice of signature (3,19) (つまり，K3格子)，φ(h)=-h, h はLの中でprimitive， t_(+) = 1， h^2 =n であるものの同型類
がただひとつ対応するのであった．（ここまでは，対応がwell-definedであること）
逆に，上のような性質を持つpolarized integral involution (L,φ, h)の同型類（ここでは，φが重要！）を与えると，それに対し，Ω_{φ, h, k}を考えると，[7]により，この各点に対して，ある実代数的偏極K3曲面が周期写像で対応するが，そのassociated polarized integral involutionの同型類は(L,φ, h)であることから，その実代数的偏極K3曲面は，H_{n,k}(R)に属する．これで，対応の全射性が言えた．
次に，H_{n,k}(R)の２つの連結成分のassociated polarized integral involutionが同じ同型類(L,φ, h)だとする．すると，それらの連結成分を周期写像により周期領域に写すと，上記説明のとおり，像は，Ω_{φ, h, k}に含まれる．また，上記説明により，それぞれの連結成分の像はΩ_{φ, h, k}全体であり，これらの２つの連結成分は，PGL(N+1, R)の作用で写りあう．すなわち，Μ_{n,k}(R)においては同じ連結成分なのである．これで，単射性が言えた．
補足注意：
ロシア語からの英訳に少々誤訳があると思われる．記号の誤植も多い．