2-elmentary K3曲面のモジュライ空間
（注意： この記事は，下記論文からの引用です．著者に感謝致します．）
参考文献：
Ken-Ichi.Yoshikawa:
「解析的トーションとモジュライ空間上の保型型式」，
数学 52-2，142--158，(2000年4月)
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X をK3曲面とする．L_{K3}を the K3格子とする．isometry
φ: H^2(X, Z) → L_{K3}
をmarkingといい， (X, φ)をmarked K3 surfaceという．
marked K3 surfaces のモジュライ空間とその上の普遍族が存在する．([BHPV]参照）
しかし，これは，保型型式を考える舞台としては適切ではない．
自然な離散群 O(L_{K3})がこれに真性不連続 (properly discontinuously) に作用しないことが理由の１つ．
そのため，（格子による）偏極を固定したモジュライ空間を考える．
Hodge指数定理から，偏極はhyperbolic (Lorenzian) lattice で与えられる．
K3曲面Xに対して，S_XをPicard格子，T_Xを超越格子とする．
定義2.1
S をL_{K3}のprimitive hyperbolic sublatticeとする．
K3曲面XがS-K3曲面であるとは，
markingφが存在して， S⊂φ(S_X)が成り立つこと．
このようなmarkingを，「S-K3曲面のmarking」という．
（markingφをひとつ選んだら，marked S-K3曲面 (X, φ) と呼ぶ．）
定義2.2
marked S-K3曲面 (X, φ) に対して，その周期 π(X, φ) と周期領域
Ω_S
を次のように定める．・・・・原論文参照・・・・・
定義2.3
偶格子Sが2-elementaryであるとは・・・・原論文参照・・・・・
2-elementary格子による偏極の特殊事情として，
コホモロジー上の自然な対合が幾何学的な対合に拡張されることがあげられる．
詳しくいうと，
L_{K3}の部分格子S+T上には，自然な対合I_S(x,y)=(x,-y) (x∈S, y∈T)がある．I_SはL_{K3}上の対合に一意的に拡張され，これは，markingを通して，勝手なmarked S-K3曲面(X,φ)のコホモロジー格子上の対合を定める．
Tのルート（その２乗が-2の元）の全体をΔ_Tとする．
Tのルートdに対する鏡映面をH_dとし，そのすべての和集合をD_Sをおき，Ω_sのdiscriminant locus という．
(Ω_s)^0 := Ω_s ＼ D_S
とおく．
K3曲面に対するTorelli定理([P-S-S])から，以下が結論される：
π(X, φ) ∈ (Ω_s)^0 ならば，X上に，
(1) ι^* = φ^{-1} o I_S o φ
(2) ι^*ω_X = ω_X (反シンプレクティック)
を満たす正則対合 ι が一意的に存在する．
定義2.6
反シンプレクティック対合を持つ（代数的）K3曲面を，2-elementary K3 曲面という．(X, ι)がS-2-elementary K3曲面であるとは，marking φが存在して，
ι^* = φ^{-1} o I_S o φ となることである．
定義2.7 (Yoshikawa)
O(T)の指数有限部分群Г_Sが存在して，S-2-elementary K3曲面のモジュライ空間は，(Ω_s)^0 / Г_S と同一視される．以降，
M_S := Ω_s / Г_S，
(M_S)^0 := (Ω_s)^0 / Г_S
と書く．
Ω_s の連結成分を(Ω_s)^± とし，(Ω_s)^+ (したがって ，(Ω_s)^- も)を保つГ_Sの部分群を(Г_S)^+ とすれば，
M_S := (Ω_s)^+ / (Г_S)^+
である．以降，周期領域は，片方の連結成分 (Ω_s)^+ のみ考える．
M_S， (M_S)^0 は，準射影的代数多様体であることが知られている．
discriminannt locus D_S は，S-2-elementary K3曲面の対合が退化する軌跡である．H_d の一般の点には，nodeを１個持つK3曲面とその上の反シンプレクティック対合が対応する．
周期領域 (Ω_s)^+ はIV型Hermite領域である．
p.150
例1 S=A_1 とする．A_1 - 2-elementary K3曲面 (X, ι) は，P^2上の非特異6次曲線で分岐する2重被覆であり， ιは被覆変換として作用する．
(X, ι) に，非特異平面6次曲線 X^ι (固定曲線) を対応させることにより，
M_(A_1))^0 は(H_6 - D_6)/PGL(C^3) と同型．
ここで，H_6 = P(Sym^6 C^3)．
（ここで，Sym^6 C^3 は複素3変数6次斉次多項式全体）
例2 S=U(2) とする．U(2)-2-elementary K3曲面 (X, ι) は，P^1 x P^1上の非特異(4,4)次曲線で分岐する2重被服であり， ιは被覆変換として作用する．
(X, ι) に，(4,4)次曲線 X^ι (固定曲線) を対応させることにより，
M_(U_2))^0 の適当なZariski開集合と，(4,4)次曲線のモジュライ空間は同型．
(2012-4-28修正)